初中數學中的動點問題是一個開放性、綜合性很強的問題，范圍廣泛，是學生的學習難點，同時也是教師的教學難點。動點問題蘊含的幾何模型、思想方法值得教師深入研究。如何呈現動點軌跡連續變化過程，讓學生頭腦中想象的圖形得以外顯?教師可以借助可視化工具加以實現。

　　一、動態幾何軟件和微專題教學

　　(一)工具及其應用優勢

　　GeoGebra是新一代動態幾何軟件，具備強大的數學研究和教學展示功能。該軟件的界面分為三個主要操作區，即代數區、幾何區和表格區。該軟件在演示幾何和代數同步變化方面更具有優勢，可以同時呈現數與形的對應變化。越來越多的研究者將該軟件應用于幾何教學、函數問題探究中，在探究動態問題方面研究較為深入。黃晨璐和張維忠應用該軟件設計了一些課例，如二次函數、勾股定理、圓周角定理等;李樂則采用實驗研究法，驗證了在動態問題的教學中應用GeoGebra可以優化教學效果。

　　旋轉變換的主從聯動問題在已有研究成果中非常少見，在教學過程中也沒有得到足夠的關注，尤其這類問題中的線段最值問題，還沒有形成系統的問題解決方法。為更加深入地研究線段最值問題，筆者借助軟件的可視化功能進行專題設計，理清研究思路，歸納有效的問題解決方法。

　　(二)微專題教學的內涵

　　數學的微專題教學是選擇一個核心問題作為研究課題，以專題的形式從問題或知識的基本形式開始，沿一條清晰的脈絡由淺入深、循序漸進地教學。其中，選擇的核心問題可以是某個知識點，也可以是某種題型或某種解題方法。從知識結構方面來看，微專題的劃分沒有明確的標準，在一個微專題下還可以繼續細化，形成包含更小的微專題。教師需要圍繞核心問題，根據學生的實際情況，選擇適當的內容和適宜的深度對微專題進行設計，旨在使不同層次的學生能夠參與到教與學活動中，讓學生在已有的知識水平基礎上提升學習能力以及對問題的分析能力[1]。

　　二、旋轉的主從聯動微專題設計思路

　　初中數學中的線段最值問題很常見，如最短路徑問題，又如利用軸對稱和線段轉化解決問題，再如函數背景下的線段最值問題，師生可以采用數形結合的方法，將線段長表示成函數解析式，根據函數性質解決問題。教師解決常見的線段最值問題基本上形成了比較成熟的方法。然而，旋轉變換的主從聯動問題對于大多數人來說略顯陌生，事實上在多地中考試題中都有它的身影，但少有研究者探尋此類問題的解法。筆者選擇這一核心問題，設計微專題，初步探索此類問題的常規解法。

　　(一)研究問題

　　旋轉是初中數學中典型的圖形變換。旋轉有如下性質：①旋轉前后的圖形全等;②對應點與旋轉中心所連線段相等;③對應點與旋轉中心所連線段的夾角相等，且為旋轉角。若在旋轉變換中融合探究動點問題，則還可得到關于動點軌跡的特征，點O為旋轉中心，∠AOA'=α，線段OA繞點O順時針旋轉α，這就是典型的旋轉變換。若此時點A是一個動點，則點A'的運動情況是由點A決定的，此時點A稱為主動點，點A'稱為從動點，兩個點是同時運動的，稱之為主從聯動。在這種情況下，由于在點A的運動過程中，每個點A經過旋轉變換，都會有唯一的點A'與之對應。

　　因而，點A'的運動軌跡就與點A的運動軌跡完全相同。若點A沿直線運動，則點A'也沿直線運動，并且從起始點到終止點形成的路徑相等;若點A的運動軌跡是圓，則點A'的運動軌跡也是圓，兩個圓的半徑相等，并且兩圓心與旋轉中心所連線段夾角是旋轉角。

　　(二)設計思路

　　根據發現學習理論和建構主義理論，學生憑借自身的知識和經驗以及對問題情境的直觀感受進行學習，才易于理解并記憶知識，利于今后在類似的情境進行正向的知識遷移，培養自主探究能力以勝任獨立研究工作[2]。視聽教學理論提出的核心“經驗之塔”將學生從學習中獲得的經驗由“具體”到“抽象”分為做的經驗、觀察的經驗和抽象的經驗三個層次。在學校教育中，教師應用各種教學媒體，可以讓學生學習體驗感更好，從而獲得更強的抽象思維能力。

　　位于塔中層的視聽媒體，較語言、視覺符號，能為學生提供更具體和易于理解的經驗。換句話說，利用各種軟件(或媒體)教學，可以更好地幫助學生建構抽象符號所表達的知識。根據上述理論，筆者沿兩條主線對旋轉的主從聯動問題中的線段最值問題進行微專題設計。

　　顯性層面，學生從初步認識旋轉的主從聯動問題的基本模型結構，到能夠直接應用該模型的結論解決簡單問題，最終提升到能夠掌握解決這一類問題的方法。隱性層面，教師設計微專題時要注重學生的數學活動經驗的積累：首先，讓他們積累“觀察”的經驗，通過觀察尋找共同點，初步認識模型;進而，積累“做”的經驗，學會在問題中找到模型并應用模型，體會動態圖形運動的連續過程。

　　最后，積累“抽象”的經驗，建構這一類問題解決方法的抽象模型，并運用它解決遇到的新問題。上述兩個層面的微專題教學目標的達成，可以基于軟件來完成。教師可利用軟件將動點問題連續動態地加以呈現，再化動為靜，化繁為簡，從中找出基本模型。教師通過由淺入深的問題引導，讓學生對相關方法逐步了解。在軟件的支持下，顯性和隱性這兩條主線相互促進，從而使學生在微專題的學習過程中，達成提升學習能力、完善知識結構、積累活動經驗、習得思想方法的目標。

　　三、旋轉的主從聯動微專題設計案例

　　關于線段最值問題，學生已掌握幾種常見的判斷何時取得線段最值的方法。例如：垂線段最短;兩點之間線段最短，以及以此為依據的三角形三邊關系;圓內(外)一點與圓上的點所連線段的最值關鍵點是該點與圓心所連直線與圓形成的兩個點。在微專題的各環節設計中，筆者根據學生現有知識基礎，進一步探索“旋轉的主從聯動問題中的線段最值問題”該如何解決。

　　(一)探尋軌跡，提煉模型——借助軟件發展幾何直觀【例1】已知邊長為6的等邊ΔABC中，E是高AD所在直線上的一個動點，連接BE，將線段BE繞點B順時針旋轉60°得到BF，連接DF，則在點E運動的過程中，當線段DF的長度取得最小值時，求線段DE的長度。上述題目是典型的旋轉變換的主從聯動問題，主動點是E，從動點是F，且運動軌跡為直線。在此環節，筆者設計了如下兩項教學活動。

　　【活動1】教師出示題目，讓學生思考一系列問題：點F的運動受哪個點影響?點F的運動軌跡是怎樣的?線段DF何時取得最小值?教師通過提問讓學生明確點E和點F的密切聯系，啟發學生思考。為探尋軌跡，教師讓學生選取任意的3個或多個點E的位置，用軟件實時呈現相應的點F的位置，嘗試觀察點F可能的運動軌跡。

　　【活動2】通過活動1，學生能夠猜想點F的軌跡是一條直線。為驗證猜想，教師用軟件追蹤點F的軌跡，動態呈現點F運動的連續過程。通過這兩個教學活動，學生已經知道點F的運動軌跡，但對于旋轉的主從聯動問題認識并不清晰。此環節，教師使用一連串的問題引導學生提取關鍵信息。問題串預設如下：①點F從何而來?點F的運動由哪個點觸發?②點E如何運動?③在點E和點F的運動過程中，哪些點、線段、角是不變的?④你能提取與運動過程有關的基本結構嗎?這一連串提問旨在引導學生通過思考剔除無關信息，提煉基本的旋轉主從聯動模型。

　　當學生有了清晰的認識后，教師借助軟件再次呈現：主動點的軌跡是圓、拋物線、雙曲線等其他形狀時，從動點的運動軌跡同樣在發生變化。教師通過這種動態演示，讓學生認識并掌握旋轉的主從聯動問題的基本模型和基本結論。初中階段，動點軌跡多為直線和圓，因此要特別關注主動點的軌跡是圓的背景下，主動點與從動點的圓心之間的關系，為后面的變式練習作鋪墊。此環節是學生初步認識旋轉的主從聯動模型的基本結構和結論的起點。教師借助軟件，進行直觀展示，讓學生積累“觀察的經驗”。

　　(二)應用模型，解法初探——借助軟件清晰演示完成前面環節的教學后，教師引導學生用相應的結論嘗試解題。既然已經發現點F的軌跡是一條直線，根據兩點確定一條直線，可以畫出點F的軌跡。由于點D是定點，根據垂線段最短可知，當DF垂直于點F的運動軌跡時，線段DF取得最小值。

　　(三)再探本質，解法進階——借助軟件變化條件仔細思考本題的解法，學生可能會提出質疑：連接CF，通過證明Δ ABE≌Δ CBF，發現，既然∠BCF是一個定角，那么點F自然是在一條直線上運動，從這一角度也可以解決這個問題。此時，是對模型本質深入探究的最佳時機。此題的全等結論是基于等邊三角形的內角是60°，旋轉角也是60°才可證的。若旋轉角改變度數，則無法通過這種方法求解。此時，教師用軟件變化題目條件，將旋轉角變為90°，讓學生觀察此種解法的局限性。

　　教師帶領學生再思考。旋轉的主從聯動問題，根本是旋轉，可以通過旋轉去轉化線段，再解決最值問題。教師提取題目中的關鍵信息“以點B為中心旋轉”“使線段DF取得最小值”此時將二者信息組合，形成ΔBDF，這里僅有F一個動點，將該三角形繞旋轉中心點B逆時針旋轉60°(即旋轉角的度數)，目的是將點F旋轉回起始位置(即與點E重合)，旋轉后的三角形為ΔBD'E，且點D'為AB中點。

　　根據旋轉的性質可知，DF=D'E，問題就轉化成：點D'為定點，點E在直線AD上移動，線段D'E的長度取得最小值，根據垂線段最短，易知點E的位置，求DE長度。此環節，教師從學生存疑的地方切入，引導學生抓住這一模型的本質(旋轉)，掌握解決這類最值問題的通法。拋開動點的運動軌跡，將問題回歸到垂線段最短的類型，讓學生積累“抽象的經驗”。

　　(四)變式練習，掌握方法——借助軟件突破難點在解題過程中，除了運動軌跡為直線的問題，更為常見的是軌跡為圓的問題，對初中生來說，探究軌跡圓在構圖、繪圖、識圖上都存在一定困難。教師用軟件很好地呈現軌跡圓，更好地幫助學生理解旋轉的主從聯動問題，并利用相應的結論很好地解決問題，突破難點。

　　在前面的教學環節，教師引導學生解決了動點軌跡為直線的問題，對于例2仿照例1，進行模型的直接應用，又引導學生抓住本質，用通法加以解決。這樣做是為了引導學生深入理解，不管運動軌跡如何，旋轉的主從聯動問題本質在于旋轉。根據例1的進階解法，可知只需要將所要求最值的線段OF與旋轉中心D，組合成ΔODF，并將此三角形繞點D順時針旋轉90°(即旋轉角度數)，使旋轉后的DF與DE重合，即可將所要求的線段OF的最值問題轉化成O'E的最值問題。

　　數學老師評職知識：數學教學研究雜志征稿要求

　　師生通過旋轉變換，就可以將看似復雜的線段最值問題轉化成熟悉的三角形三邊關系求最值問題，當三角形三邊共線時取得最值，從而解決問題。教師通過這一環節的設計，讓學生的知識結構更加完整。初中數學中的動點問題是教學難點，教師在教學中如果只是就題論題，以解題為最終目標，很難讓學生參透本質、舉一反三，也不易獲得理想的教學效果。教師在解題教學中采用微專題的形式，幫助學生用一條主線串起零散的問題是很有必要的。對于一些動態問題，教師在微專題的設計中要注重可視化技術的應用，讓學生從“看得見”的問題開始，逐步掌握抽象的符號知識和模型結構。實踐證明，應用專業軟件貫穿動點問題的解題教學過程，可以直觀呈現學生不易想象的動態軌跡，提升學生的參與度，優化學生的學習過程，使課堂更加“精彩”。

　　參考文獻：

　　[1] 李寬珍.數學微專題教學的特征、策略及方法[J].教學月刊·中學版(教學參考),2016(9):3-7.

　　[2] 劉蕙萱.運用GeoGebra軟件輔助初中數學教學效果研究[D].南昌：南昌大學,2014.

　　作者：胡璽舜;佘文娟