[摘要]數學學習不僅只是學習教材上所呈現的數學知識,而且要通過教材提供的素材進行聯想和加工,將已學的知識納入新的知識結構之中,運用已學的知識與新知識之間的聯系來解決新的問題。數學教學一個重要的內容是通過一定的經驗積累形成一定的數學模型,來實現數學學習的思維價值。“鴿巢問題”又可以稱之為鴿巢原理、抽屜原理，或者可以稱之為狄利克雷原理。鴿巢問題在數學問題和實際生活中占有重要的作用，許多問題和現象都可以利用鴿巢原理進行解決。

　　[關鍵詞]數學模型;理性思維;邏輯思維;歸納推理

　　通過鴿巢問題的學習，引領學生構建相應的邏輯思維能力，培養理性思維意識，是當下小學數學教育的一個重要方向。當下利用鴿巢問題培養小學生的數學思維具體過程為：1.通過對實際問題或者現象的猜測、驗證、觀察、分析，初步了解“鴿巢問題”，會用鴿巢原理解決簡單的實際問題，滲透“建模”思想。2.幫助學生建立從具體到抽象的分析過程，提高學生獨立思考和推理的能力。3.通過鴿巢原理模型構建，使學生感受到數學的魅力，提高學生學習數學的興趣。

　　一、讀懂教材插圖，挖掘發展學生思維契機

　　對于剛接觸鴿巢問題的學生來說，直接給出鴿巢原理，學生是很難理解該原理的實際含義，如“總有一個筒至少放進2支筆”這句話對于學生而言，不僅說起來生澀拗口，而且抽象難以理解，這樣無法達到構建學生相應理性思維的目的。在最新的人教版六年級下冊數學課本中，為了方便學生對于鴿巢問題的學習和掌握，配備了大量的插圖，教師可以利用這些教材插圖在具體的教學過程中，先將抽象問題直觀化，用具體、明確的插圖實例對學生進行啟發。

　　如教材上的圖例所示，教師按照圖上的語言描述和學生一起做“變魔術”游戲，即：將一副牌中取出大、小王，讓學生隨意從余下的牌中抽5張，觀察牌的花色情況，然后教師不進行觀看，直接對學生說“至少有2張牌是同花色的”。還可以按照后續的圖例帶領同學們做一個“放鉛筆”游戲。其游戲具體的規則為：準備4只鋼筆和3個筆筒，讓同學們依次完成放鉛筆的活動，但是后面的同學不能和前面的同學放的樣式相同，讓一個學生進行記錄，整個過程教師不進行觀看，直接對學生說“總有一個筆筒至少放進2支鉛筆”。

　　隨后，教師對游戲的結果提出問題：1.這句話里“至少”是什么意思?2.“至少有2張牌是同花色的”或者“總有一個筆筒至少放進2支筆”是什么意思?3.教師為什么不進行觀看就可以得出結論?在此教學過程中，通過學生親身經歷的事物結合實際圖畫教學，激發學生學習興趣，使學生積極投入到后面問題的研究中。并通過“總有”“至少”等詞匯，讓學生初步經歷數學證明的過程，訓練學生的邏輯思維能力和理性思維分析能力。

　　二、利用教材編排意圖，設計發展學生思維活動

　　數學教學一個重要的內容是通過一定的經驗積累形成一定的數學模型。在當下，數學模型最早歷史可以追溯到古代人們對于數字的使用，并隨之而來建立的各種數學模型。美國教育學家戴爾認為：在經驗之塔中，越靠近底層，其表述的事物越具體，反之越趨抽象。在進行小學數學教育過程中，應該從經驗之塔最初的底層開始，逐步進行抽象化。在平時的教學過程中教師不能僅止步于具體經驗進行教學，而是要通過收集、分析這些具體經驗后，形成抽象和普遍發展的概念。

　　所以，在進行實際的教學過程中，要有針對性地設計教學過程，并使學生獲取理性的分析，形成一定的理性思維。在人教版六年級下冊數學教材中的圖例是按照一定的數學邏輯思維進行設計的。如在上述游戲中，我們將4支鉛筆放進3個筆筒中，無論如何放置鉛筆，總會有一個筆筒里至少有2支鉛筆;教師將分析的過程按照教材編排意圖一一對學生進行演示。同時，在演示結束后可以對游戲進行進一步擴展，如果把5支鉛筆放進3個筆筒，總有一個筆筒至少放多少支鉛筆?如果把8支鉛筆放進3個筆筒，總有一個筆筒至少放多少只支筆?通對這些基礎經驗總結：4÷3=1……15÷3=1……28÷3=2……2教師帶領學生引出規律：至少數=商+1。

　　教師通過對規律的循序講解，在初次發現規律的基礎上，從“至少2支”得到“至少商+余數”個，再到得到“商+1”的結論。逐步構建了數學模型，并通過對數學模型的學習，深化了學生理性思維構建。

　　三、巧用教材習題設計，開拓發展學生思維路徑

　　對于小學生在思維路程的演練與形成中，由于自身的經驗和知識儲備不足，對于剛剛形成的數學模型還不能熟練運用。為了進一步開拓發展學生思維，可以通過將上述構建的數學模型結合教材習題，進行進一步訓練。如：從“至少2支”得到“至少商+余數”個，再到得到“至少數=商+1”的結論，既是構建模型的過程，也是運用模型的過程。

　　由于鴿巢問題在實際生活中的應用是千變萬化的，可以利用鴿巢原理解決實際生活中許多有趣的問題，在進行實際問題解決時，我們就不用按照前面求解的過程，進行重復性工作。只需要學生通過前面的學習，抽象出具體的鴿巢原理模型——“至少數=商+1”，即可以運用該模型熟練地解決一些實際問題。

　　例如，小明總共有5只鋼筆，他想將這5只鋼筆放入4個鋼筆盒中，請問這4個鋼筆盒中總有一個至少要放入幾個?按照我們前面構建的鴿巢原理模型：至少數=商+1因為有5只鋼筆、4個鋼筆盒，所以5÷4=1……1，至少數=1+1=2。得出：4個鋼筆盒中總有一個至少要放入2個。利用該鴿巢原理模型既可以很快地解決問題，又使得學生的抽象能力和理性分析能力得到提升。

　　四、利用教材彈性內容，深挖發展學生思維方向

　　小學階段是學生學習的黃金時期，建立并提高小學生的思維能力也是當前數學教育的重要目標之一。鴿巢問題在當下生活中經常遇到，通過實際的問題構建出鴿巢原理——“至少數=商+1”，不但能夠使學生從數學的角度進行問題分析、探究，還能夠有效地培養學生的邏輯思維能力和歸納推理能力。數學學習最終目的是用來解決實際問題，所以在進行學生的思維訓練時，不能僅局限在書本的例題或者習題中，應該合理地利用教材彈性內容，發展學生思維方向，真正實現對學生理性思維的高效培養。

　　1.教材分析

　　首先，教師應該針對小學數學教材中《鴿巢問題》相關的教材內容進行分析。教材內容具有顯著的遞進關系，主要幫助學生掌握基礎的“抽屜原理”，并且對“至少”、“總有”這兩個關鍵詞給予正確認識，進而獲得假設、枚舉這類理性的數學思維方法，再對基本概念的抽象化進行解讀，使“抽屜問題”更加一般化，從而使學生掌握利用“抽屜問題”解決現實問題的思路和技能，使學生的理解能力和應用能力得到進一步提升。

　　分析教材內容可知，理性思維教學應該重點突出以下幾個方面：

　　其一，教學內容應該充分揭示課題，使學生對“鴿巢問題”有正確認知。這一階段應該充分考慮學生的認知規律和學習習慣，并且從拓展知識內容、豐富學生視野的角度出發，對學生的學習興趣給予有效激發。為此，課上應先用多媒體設備對鴿子的圖片進行演示，并且詢問學生看到圖片后的聯想。在談話引入的方法下，學生逐漸進入“鴿巢問題”這一主題。

　　其二，教學內容應該對列舉和枚舉的數學思維方法及其選擇應用進行充分體現。在實際教學中，通過一個實際例題引導學生自主探究：如果要把4個籃球放在3個筐里，一共有多少種方法。課上采用小組合作探究的方式，先以小組為單位給出答案，然后全班一起討論是否有更多的可能性。在所有可能都被列舉的情況下，就被稱為枚舉。

　　其三，引導學生對“至少”和“總有”這兩個概念進行區分。在課上舉出實例，要求學生在完成上述例題時做到“總有1個筐里至少放進2個籃球”，然后學生對枚舉出的方案進行觀察和分析，并且進行記錄對比。在實踐操作的過程中，使學生理解這兩個概念的涵義和不同。

　　其四，在課程教學中對數學思維方法進行滲透，幫助學生增強邏輯思維能力和抽象思維能力。在課上，由教師引導學生根據例題實踐演練，在具象思維的基礎上進行枚舉，并作出簡單的假設和推理，然后以多媒體課件的形式進行邏輯推理，驗證學生的一些假設，將具象思維轉變為抽象思維，使特殊事物轉變為一般事物，提升學生的概括歸納能力，并且探究總結背后蘊含的規律，構建出解決問題的思維模型。

　　其五，將課堂教學與實際生活相聯系，幫助學生掌握理論知識的實踐應用能力。為此，教師安排課后的學習任務，要求學生發現生活中的待分物體，并且用“列舉和枚舉”“總有和至少”的知識進行實踐操作，從而使學生的自主思維及實踐能力得到提升。

　　2.教學目標

　　為保障教學質量，教師必須制定科學明確的教學目標，并且對教學中的重點部分和難點部分給予明確。就教學目標來看，主要包括以下幾個方面：

　　其一，引導學生對“鴿巢問題”進行自主探究，并且對“抽屜原理”給予初步明確，同時能夠利用這一原理解決簡單的實際問題。其二，引導學生探究“鴿巢問題”背后的規律，并且能夠做出簡單的假設、推理和分析，構建出數學思維模型。

　　其三，激發學生學習數學的興趣，提高學生解決數學問題的能力，培養學生的理性思維。其中教學的重點目標在于引導學生自主探究“鴿巢問題”，并掌握“抽屜原理”的基本規律及應用能力。教學的難點目標在于培養學生的理性思維，能夠將簡單的數學問題邏輯化和模型化。

　　3.教學設計

　　在對教學活動進行設計時，教師必須以教學目標作為根據和指導，并且對教學重點給予突出展示，對教學難點進行關鍵性突破，從而使學生的自主探究興趣得到切實激發，能夠以理性的數學思維模式解決實際問題。具體來看，教學活動設計主要包括以下幾方面內容：其一，通過談話引入課題。

　　在課上，教師先用多媒體設備播放鴿子及巢穴的圖片，激發學生的聯想能力。一些學生聯想到“飛鴿傳書”，一些同學聯想到“世界和平”，還有一些同學提出“鴿巢問題”，教師聯系實際生活順勢提出問題：“如果有3個籠子，4只鴿子飛入這3個籠子會出現幾種情況”，然后讓學生以小組為單位進行討論。

　　其二，通過實踐操作加深理解。為了使學生的思維更加具象化，教師引導學生用課前準備好的籃球和球筐進行演練，并且提出幾個具體的研究課題，分別是“將4個籃球放到3個球筐里總共出現的情況”“將5個籃球放到4個球筐里總共出現的情況”“將6個籃球放到5個球筐里總共出現的情況”。

　　探究過程采取小組合作的方式，每個小組將實踐的結果列舉在卡片上，最后枚舉出所有的可能性，然后在全班范圍內進行補充交流，保證枚舉結果的完整性。在此基礎上，對三種結果進行對比，發現無論采用何種方式，每個問題都會出現“總有1個球筐里至少放進2個籃球”，因此，由特殊現象推理出一般現象，使“抽屜問題”的原理得到明示。其三，對“抽屜原理”進行初步應用。

　　在自主探究的過程中，教師引導學生對該原理進行簡單應用，并且對思維進行拓展。例如提問學生“上述問題都是對物體個數大于抽屜個數1的情況進行研究，那么現實中還會遇到怎樣的情況呢”，學生提出“還有大于1的情況，比如多2個、多3個等”。在此基礎上，引導學生對“6個物體4個抽屜”“8個物體4個抽屜”“7個物體4個抽屜”“9和物體4個抽屜”的情況進行研究，并且對其中的數學規律進行歸納總結。

　　學生在探究過程中對課上的“籃球”例題進行模仿，將“總有”和“至少”這兩個概念帶入其中，最后教師要求學生將物體個數表示為a，將抽屜個數表示為n，根據已有的枚舉方案表示出其中的規律，發現“a個物體放進n個抽屜”，在a與n相除無余數的情況下，總有1個抽屜中會至少放進b(商)個物體;當有余數的情況下，總有1個抽屜會至少放進(b+1)個物體。其四，通過知識拓展培養學生綜合素質。

　　在獲得規律的基礎上，教師提問學生“是否知道該規律的最初發現者”，然后通過教材和多媒體引導學生對狄利克雷的生平及成就進行了解，從而拓展課外知識。另外，教師要求學生聯系自身的實際生活，對常見的“鴿巢問題”進行總結和分析，從而提升實踐能力。

　　數學思維強弱直接關系到一個人是否能夠將具體的問題抽象化，能否充分利用證據和邏輯來實現對某事物或問題認知。當前小學生是學習的黃金時期，建立并提高小學生的理性思維能力是當前數學教育的重要目標之一。鴿巢問題在當下生活中經常遇到，通過實際的問題構建出鴿巢原理——“至少數=商+1”，不但使能夠使學生從數學的角度進行問題分析、探究，還能夠培養并鍛煉學生的理性思維，有效地培養學生的邏輯思維能力和歸納推理能力。

　　參考文獻：

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