摘要：基于公共交通的公益性，綜合考慮乘客與公交企業之間的權衡關系，以保證企業運營成本與服務更多乘客為目標，在浮動票價機制的框架下研究定制公交的線路優化問題。首先，引入價格窗概念，以描述乘客出行過程中的支付意愿，并定義基于時空窗與價格窗的出行需求特征;提出超額均攤的票價支付假設規則，以在保證出行的基礎上支付最少費用。其次，構建引入價格窗的整數線性規劃模型，以乘客出行的時空窗和價格窗為輸入，以企業運營成本最小化和服務乘客數最大化為目標，通過運營盈利約束來保證企業的運營成本，聯合優化乘客-車輛匹配和車輛路徑兩個子問題。最后，采用 GAMS 軟件進行建模和求解，在 Sioux Falls 網絡開展算例分析。結果表明：引入浮動票價機制可以服務更多的乘客，進而增加企業的運營收入，且在價格窗上界一定的增幅內，所服務乘客數和企業的運營收入隨價格窗上界增幅的擴大而增加。

　　關鍵詞：城市交通;定制公交;浮動票價機制;線路優化;價格窗;GAMS

　　0 引言

　　大力發展公共交通是我國城市交通領域的重要發展戰略。為解決乘客出行需求多樣化與公共交通服務單一化間的矛盾，重點發展多元化公共交通已成為城市交通發展的必然趨勢。傳統公共交通(固定運營線路、時間和票價)為體現其公益性和公平性，一般采用低票價機制;因此受其成本限制，很難為出行地點偏僻或出行時間特殊的乘客提供公交服務。定制公交是為有類似出發地、目的地、出行時間和服務水平的乘客提供一人一座、門到門的定制化快捷公交服務[1];其票價通常高于傳統公交票價，但低于自駕車和出租車的出行費用;可以有效解決傳統公交線網未覆蓋區域、運營時間外等特殊乘客的公交出行問題;在服務對象上與傳統公共交通形成鮮明的互補關系，是多元化公共交通的重要組成部分。

　　定制公交的運營模式最早起源于國外共享出行的理念。Kirby 等(1974)通過對定制公交案例分析，得出定制公交有利于提高公共交通使用率[2];Shaheen 等(1998)明確了定制公交運營的基本流程[3]。國內的定制公交發展起步較晚，2013 年北京和青島首次開通了定制公交線路[4];徐康明等(2013)探討了定制公交服務的定義、服務要素、優勢和適用性[5];Liu 等(2015)首次分析了定制公交在 30 個中國城市的發展，重點介紹了定制公交的設計運營過程[6]。在定制公交理論研究方面，張敏捷等(2014)提出以線網覆蓋率最大、上座率最高、運營投入最少為目標函數，考慮線路長度和上座率約束的定制公交線路規劃模型，并采用改進蟻群算法求解[7];雷永巍等(2017)構建了面向互聯網定制公交，以最大需求服務率和最小費用為目標，以最大載客量和乘客時間閾值等為約束條件的動態網絡調度模型，并設計了并行蟻群算法對模型進行求解[8];Tong 等(2017)建立了以不可達乘客數量最小為目標。

　　考慮容量限制和時間窗等約束條件的規劃模型，并采用拉格朗日松弛算法求解[9];陶浪等(2018)建立了以乘客出行時間和車輛油耗最小為目標，考慮車輛容量限制、出行時間約束、出行費用約束的定制公交線路優化模型，并采用改進 NSGA-Ⅱ算法求解[10];申嬋等(2019)構建了以乘客等車成本、乘客損失成本及車輛運行成本為目標函數，考慮流量和容量約束的定制公交線路優化模型，并采用禁忌搜索算法對問題進行求解[11];Lyu 等(2019)構建了以運營商盈利最大化為目標，考慮巴士公司總載客量約束的優化模型，并設計了啟發式算法求解[12];陳汐等(2020)構建多區域運營模式的通勤定制公交線路規劃模型，以最小化乘客出行成本、車輛運營成本為優化目標，并設計兩階段啟發式算法求解[13];Chen 等(2021)構建了以乘客的額外旅行時間最小和運營成本最小為目標函數，考慮分配約束、時間約束、容量約束、方向約束等條件的定制公交線路設計模型[14]。

　　綜上所述，目前研究主要關注于固定票價機制下的定制公交線路優化問題。然而，在實際的工程應用中，定制公交由于單一票制、服務人數、運營成本等原因造成實際載客率不足、線路延伸與覆蓋率不夠等“運營穩健性”問題，特別是由于載客率不足造成票款收入不能滿足線路運營成本時，導致線路無法開通或停運。

　　當某個區域不能提供傳統公交或定制公交服務時，居民需要支付更高的出行成本(私家車、出租車等)實現出行。為解決定制公交的“運營穩健性”問題，本文提出定制公交的浮動票價機制，即乘客為實現公交出行，基于公交基礎票價(按里程計價)提出自身可接受的支付范圍;公交企業基于公益性和公平性的原則，根據線路的運營成本與乘客的支付意愿，在乘客可接受的支付范圍內確定其最終票價。該機制在乘客可接受的支付范圍內，通過部分乘客的額外支付來維持線路的運營成本，從而保證定制公交線路的開通和“穩健運營”，實現線路整體乘客的公交出行，避免出行成本更高的非公交出行。在浮動票價機制的框架下，從公共交通公益性的角度出發，綜合考慮乘客與公交企業之間的權衡關系，以保證企業運營成本與服務更多乘客為目標，研究定制公交的線路優化問題。

　　首先，引入價格窗的概念，來描述乘客出行過程中可接受的支付范圍;提出超額均攤的票價支付假設規則，使乘客在保證出行的基礎上支付最少費用。其次，基于時空窗與價格窗的乘客出行需求特征構建定制公交線路優化模型，以企業運營成本最小和服務乘客數最大為目標函數，通過運營盈利約束保證企業的運營成本，聯合優化乘客-車輛匹配和車輛路徑兩個子問題。最后，采用 GAMS 軟件進行建模和求解，并通過算例對模型進行了驗證。1 問題描述

　　1.1 問題描述與輸入輸出

　　本文要解決的問題可描述為，每位乘客為實現定制公交出行，基于公交基礎票價提出自身可接受的支付范圍，形成一個票價可接受范圍，定義為價格窗;同一輛車的乘客在自身可接受的支付范圍內共同分擔車輛的最低發車收入，實現更多乘客的公交出行;公交企業則根據乘客出行信息(時空窗和價格窗)進行乘客-車輛匹配和車輛路徑優化，并基于票價支付假設規則計算乘客的最終支付票價，從而實現在保證企業運營成本的基礎上服務更多乘客。問題預先設定公交基礎票價和最低發車收入。

　　實際應用中，公交票價的制定與乘客的出行距離和出行時間相關;參考文獻[15]，本文的公交基礎票價的定價方式采取按里程計價，20 公里(含)以內 5 元，每增加 5 公里(含)以內增加 3 元。而最低發車收入通常與駕駛員工資、車輛油耗以及車輛損耗等相關，由企業根據企業的實際運營情況來計算確定。票價收入上界為乘客可接受支付的最大票價總和，下界為乘客公交基礎票價總和。當票價收入上界超過最低發車收入時，線路發車;否則，不發車取消服務。

　　1.2 時空窗與價格窗

　　在乘客出行的規劃問題中，一般會采用時間窗的概念表示乘客出行要求的時間范圍，包括上車時間窗和下車時間窗。而時空窗是時間窗與空間約束相結合的一種約束，表示乘客出行要求的時間范圍和地點范圍，包括上車時空窗和下車時空窗 。通常情況，選擇定制公交出行的潛在乘客會綜合衡量收入水平、準時性、便捷性、舒適性、出行目的、出行距離、出行意愿等多種因素，根據公交基礎票價產生一個最大支付意愿。價格窗就是乘客基于公交基礎票價所能接受的票價支付范圍，下界是公交基礎票價，由企業根據乘客 OD 間的最短路徑距離計算確定，上界是乘客的最大支付意愿，由乘客自己確定。也就是說，若乘客可以得到公交服務，則其最終支付票價位于價格窗之間。如公交基礎票價為 5 元，乘客最大支付意愿為 10 元，其價格窗表示為[5,10]。

　　1. 3票價支付假設規則

　　首先，乘客提前支付可接受的最大票價;其次，企業根據票價支付假設規則計算得到乘客支付的最終票價;最后，將未出行的票價或超出的票價退回給乘客。在浮動票價機制下，存在同一輛車的乘客基于公交基礎票價去分配額外票價支付的問題，即最終票價的計算問題，基于公交公益性、保證企業運營成本以及在保證出行的基礎上支付最少費用等原則，提出超額均攤的票價支付假設規則(所有乘客在支付各自基礎票價的基礎上，逐層均攤需要額外支付的票價)來計算乘客的最終支付票價。

　　可以發現，若采用固定票價機制，乘客 的公交基礎票價(6 元)以及乘客 、 公交基礎票價的之和(6 元)均小于車輛的最低發車收入(11 元)，他們將不能被公交所服務。此時，乘客有兩種選擇，一是取消出行，不能實現其出行目的;二是而采取非公交出行，但其打車成本遠遠大于公交出行費用。而引入浮動票價機制后，乘客 雖然在公交基礎票價(6元)的基礎上多支付了 5 元，但實現了其出行目的，且公交出行的最終票價在自己可接受的支付范圍內，遠小于采取非公交出行的費用(21 元)。

　　乘客 、 通過共同承擔額外的票價(5 元)實現公交出行，雖然乘客 (承擔 3 元)比乘客 (承擔 2 元)多承擔了 1 元，但兩位乘客均實現了出行目的，且他們的最終支付票價均在自己可接受的支付范圍內，遠小于非公交出行的費用(17 元和 14 元)。在浮動票價機制的框架下，基于超額均攤的票價支付假設規則，通過高票價乘客為低票價乘客的多支付維持線路的運營成本，從而保證定制公交線路的開通和“穩健運營”;通過乘客間“抱團取暖”的方式，實現整體乘客的公交出行，避免出行成本更高的非公交出行，使乘客在保證出行的基礎上支付最少費用。

　　2 模型

　　公共交通服務涉及兩個標準，即乘客可達性和公交企業的運營成本。因此，本文建立了一個整數線性規劃模型，設立目標函數同時考慮企業運營成本最小和服務乘客數最大兩個目標，目的是在滿足最低的發車收入的條件下，避免運力浪費，盡可能服務更多的乘客并提高企業的運營收入。

　　本文是基于公交的公益性，在保證運營成本最小的基礎上服務更多的乘客。服務更多的乘客通過目標函數來實現，而保證運營成本通過“運營盈利約束”來實現。可以發現當所有乘客的價格窗上界等于下界時，此時本文模型與文獻[9]的模型相同。但由于乘客在票價支付意愿上的差異性，乘客價格窗會存在一定差異性，因此相較于文獻[9]的模型，本文提出的模型可以放寬最優解的搜索范圍，在保證企業運營成本的基礎上，基于乘客的支付意愿，增加乘客可以乘坐定制公交出行的可能，從而對定制公交的運營方案、服務乘客人數、票價收入等產生影響。

　　模型基于價格窗，通過公式(5)放寬了最優解的搜索范圍。模型的不同可行解，所對應的目標函數值不同，其最終票價收入也不同，從而在目標函數和最終票價收入之間建立了一個隱性對應關系。由于最終票價收入是在具體的可行方案下，基于價格窗和超額均攤票價支付規則計算得到，難以用顯性公式所描述。因此，盡管目標函數中沒有體現票價和票價收入，但可通過票價收入與目標函數的隱性對應關系求出最優解下的票價收入。未來的研究方向之一是將票價及票價收入引入到目標函數中。

　　3 算例分析

　　3.1 數據說明

　　本文基于文獻[9]中的數據對構建的模型進行驗證。該數據以 Sioux Falls 網絡上 20 個乘客的通勤請求為示例，其中，該網絡具有 24 個節點和 38 條無向邊，邊上的數字表示距離(單位為km)，假設行程時間(單位為 min)的數值與距離相等。公交座位數為 10。由于乘客上班時間一般是固定的，因此本文假設乘客最晚到達目的地的時間為第 30 或60 min，同時假設乘客可以接受提前 5 min 內到達目的地，由此得到乘客的下車時空窗，然后根據 OD 間最短路徑距離計算乘客的上車時空窗。20 位乘客的最短 OD 距離均小于 20 公里，根據公交基礎票價的計算公式，計算得到 20 位乘客的公交基礎票價均為 5 元。同時為了突出浮動票價的特征，以及模型間的可比性，將最低發車收入設定為 30 元; 設定為 0.01;設定為 1。另外隨機生成若干個服從正態分布5,5的整數，取 20 個超過均值 5 的整數依次表示 20 位乘客的最大支付意愿，得到乘客的價格窗。

　　3.2 算例求解

　　本文建立的數學模型是一個整數線性規劃模型，運用通用代數建模系統(GAMS)進行建模和求解。定制公交的最大運用車輛數等于所有乘客所能支付的最大票價之和除以最低發車收入;由于虛擬公交車輛可以看作是除定制公交之外的出行方式(如出租車、私家車等)，不需要進行乘客-車輛分配，因此不管是 1 位還是 位乘客，均可以被“1 輛”虛擬公交車輛服務。

　　20 位乘客所能支付的最大票價之和為 206 元，最低發車收入為 30 元，因此對算例進行求解時，初始定制公交的運用車輛數設為 7，虛擬公交的運用車輛數設為 1。算例最終的求解時間為 1.781 s，求解速度較快。計算結果表明，僅有 2 位乘客沒有通過定制公交運送，18 位乘客可以通過定制公交運送，共使用了 4 輛定制公交，其中有 4 位乘客通過車輛 1 運送，3 位乘客通過車輛 2 運送，6 位乘客通過車輛 3 運送，另外 5 位乘客通過車輛 4 運送。

　　公交論文范例：定制公交合乘站點兩步優化選址方法研究

　　4 結論

　　針對定制公交固定票價機制帶來的服務乘客量少和運營收入低的問題，本文引入浮動票價機制，并提出價格窗的概念和超額均攤的票價支付假設規則，構建整數線性規劃模型，綜合考慮企業運營成本和服務乘客數兩個方面。同時采用 GAMS 求解該模型并利用算例進行了驗證，并分別對價格窗和時間窗進行靈敏度分析，相應給出定制公交的未服務乘客數和運營收入，并與采用固定票價機制進行對比，結果表明：(1)在價格窗上界一定的增幅內，所服務乘客數和企業的運營收入隨價格窗上界的增幅的擴大而增加;(2)在時間窗一定的寬度下，所服務乘客數和企業的運營收入隨時間窗寬度的增加而增加;(3)在同樣的場景下，相較于采用固定票價機制，引入浮動票價機制可以松弛乘客的出行約束，服務更多的乘客，進而提高企業的運營收入。

　　參考文獻：

　　[1] WANG C, MA C X, XU X C. Multi-objective optimization of real-time customized bus routes basedon two-stage method[J]. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2020, 537: 122774.

　　[2] KIRBY R F, BHATT K U. Guidelines on the Operation of Subscription Bus Services[R]. Nationaltechnical information service, 1974.

　　[3] SHAHEEN S A, SPERLING D, WAGNER C. Car sharing in Europe and North America: past,present and future[J]. Transportation Quarterly, 1998, 52(3): 35-52.

　　[4] 詹海林, 董景瞬. 青島在全國首次開通“定制公交”交運集團(青島)開通“定制公交”，真的會成為公交車史上一次革命性創新嗎?[J]. 運輸經理世界, 2013, (09): 20-23. [ZHAN H L,DONG J S. Qingdao transport Group (Qingdao) launched a "customized bus", will it really be arevolutionary innovation in the history of public transport?[J]. Transport Manager world, 2013, (09):20-23.]

　　[5] 徐康明, 李佳玲, 馮浚, 等. 定制公交服務初探[J]. 城市交通, 2013, 11(05): 24-27.

　　[XU K M,LI J L, FENG J, et al. Discussion on subscription bus services[J]. The urban traffic, 2013, 11(05): 24-27.]

　　作者：岳昊*，劉建業，李崇楠