摘要：隨著課程標(biāo)準(zhǔn)的不斷改革、教材內(nèi)容的不斷更新以及教育實(shí)踐的不斷發(fā)展,中學(xué)數(shù)學(xué)教材增添了許多高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容,與此同時(shí)致使中學(xué)數(shù)學(xué)教師認(rèn)識(shí)到,高等數(shù)學(xué)于中學(xué)數(shù)學(xué)的密切聯(lián)系。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合自己的學(xué)習(xí)和教學(xué)實(shí)踐，闡明了從高等數(shù)學(xué)的視角研究中學(xué)數(shù)學(xué)中集合內(nèi)容的必要性。并論述了集合思想在中學(xué)的滲透，為中學(xué)教師的教學(xué)提供一些建議。

　　關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)，中學(xué)數(shù)學(xué)，集合，運(yùn)算

　　1引言

　　隨著課程標(biāo)準(zhǔn)的不斷改革、教材內(nèi)容的不斷更新以及教育實(shí)踐的不斷發(fā)展，中學(xué)數(shù)學(xué)教材增添了許多高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，與此同時(shí)致使中學(xué)數(shù)學(xué)教師認(rèn)識(shí)到，高等數(shù)學(xué)于中學(xué)數(shù)學(xué)的密切聯(lián)系。然而,一些問題也隨之產(chǎn)生，如：部分中學(xué)數(shù)學(xué)教師淡忘了高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，或是所學(xué)的高等數(shù)學(xué)知識(shí)與中學(xué)數(shù)學(xué)互相脫離,再或是缺乏運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)的觀點(diǎn)處理中學(xué)數(shù)學(xué)問題的意識(shí)，利用高等數(shù)學(xué)的視角統(tǒng)領(lǐng)全局的能力亟待提高等問題。

　　集合作為數(shù)學(xué)中最基本的概念之一,其教學(xué)內(nèi)容雖編排在高中必修1,但集合思想?yún)s在小學(xué)階段認(rèn)數(shù)時(shí)就已經(jīng)有所接觸,在三年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角中更是編排了集合的交集、Venn圖等相關(guān)內(nèi)容,并一直伴隨到初中、高中直至大學(xué).而大學(xué)數(shù)學(xué)作為中學(xué)階段數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思維的延伸和拓廣,是高等院校學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)后繼課程的重要保障和知識(shí)儲(chǔ)備.特別是集合在大學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)中起到了很好的銜接作用。

　　2集合理論在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

　　集合是中學(xué)階段(高中)學(xué)習(xí)的第一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，也是大學(xué)階段基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程中的第一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，在數(shù)學(xué)中占據(jù)著及其重要的地位。雖然，在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教課書數(shù)學(xué)1中，集合的內(nèi)容較少且簡單，但集合不僅是數(shù)學(xué)1中函數(shù)的定義域和值域?qū)W習(xí)的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)5中表達(dá)不等式的解集的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)選修2-1中圓錐曲線中正確表達(dá)橢圓、雙曲線、拋物線的基礎(chǔ)等等。集合的學(xué)習(xí)不僅可以為后續(xù)學(xué)習(xí)其它內(nèi)容奠定基礎(chǔ),還可以借助集合的理論知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題。

　　在二十世紀(jì)初,我國尚在使用子、丑、寅、卯和甲、乙、丙、丁等中國自己的符號(hào)語言。1911年(辛亥革命)后，數(shù)學(xué)符號(hào)就與國際通用的一致，五四運(yùn)動(dòng)以后，白話文的使用,使得我國的數(shù)學(xué)語言與國際上的基本一致。二十世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要標(biāo)志就是康托集合語言的普遍采用，在我國的統(tǒng)編教材可以發(fā)現(xiàn),同樣也采用了集合語言。集合語言是日常語言的濃縮,是簡單邏輯關(guān)系的符號(hào)表示。在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中,一般從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度描述數(shù)學(xué)對(duì)象，用集合語言描述具有“數(shù)集”意義的數(shù)學(xué)對(duì)象有:函數(shù)的定義域和值域、方程(組)、不等式(組)的解集的解集等;用集合語言描述具有“圖形”意義的數(shù)學(xué)對(duì)象有:點(diǎn)的軌跡、圓、橢圓、雙曲線、拋物線、可行域等等。

　　3集合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透

　　通過對(duì)集合理論在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用的研究發(fā)現(xiàn)，中學(xué)數(shù)學(xué)所研究的對(duì)象在某種程度上都可以歸結(jié)為集合，而集合思想也貫穿了整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以說集合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)思想占據(jù)著舉足輕重的地位。特別是，數(shù)系的擴(kuò)充是集合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的典型體現(xiàn)。

　　關(guān)于集合的研究必定離不開對(duì)數(shù)的研究。對(duì)于學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)的人，或多或少的都會(huì)以為對(duì)數(shù)是了解的。但若深究一下，許多問題又變得模糊。例如;為什么1+2=3?數(shù)的加法、乘法是怎樣規(guī)定的?數(shù)系是怎樣擴(kuò)充的?等問題。這些問題對(duì)于一般的人來說，似乎無足輕重，但對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)教師來說，卻至關(guān)重要，是一定要弄明白的。要研究數(shù)的系統(tǒng)，則要從認(rèn)識(shí)自然數(shù)開始。自然數(shù)是人類發(fā)明使用最早的數(shù)，自人類有文化開始，自然數(shù)便被創(chuàng)造出，并與人類生活息息相關(guān)。人們甚至還對(duì)自然數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，使用一些不加證明的算律。但到十八世紀(jì)，人們一直把自然數(shù)當(dāng)做最基本的概念在使用，并沒有人認(rèn)識(shí)到自然數(shù)該如何定義。直到1889年，在數(shù)學(xué)公理化思想的影響下，意大利數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家皮亞諾(G.Peano,1858-1932)第一個(gè)在理論上提出了自然數(shù)公理系統(tǒng)。他雖然把自然數(shù)作為不加定義的概念,但他為自然數(shù)設(shè)立了一套公理。即把“自然數(shù)集”和“0”作為兩個(gè)不加定義的原始概念以及五條公理來定義自然數(shù)系統(tǒng)。

　　自然數(shù)系是代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).它是構(gòu)造整數(shù)系、有理數(shù)系和實(shí)數(shù)系的起點(diǎn)。在中小學(xué)的數(shù)學(xué)中，數(shù)系的學(xué)習(xí)可以說是貫穿始終。從小學(xué)一年級(jí)學(xué)習(xí)正整數(shù)開始，到高中學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)，數(shù)系的學(xué)習(xí)始終貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)課程中。由于數(shù)系中所包含的知識(shí)大多是超經(jīng)驗(yàn)的或難以證明的，以及學(xué)生接受能力的限制。因此，在中小學(xué)的數(shù)系教學(xué)中，對(duì)數(shù)系的擴(kuò)展不能全盤形式化、公理化的處理.故而不可避免“不嚴(yán)謹(jǐn)”、“模糊”的現(xiàn)象發(fā)生，但數(shù)系的擴(kuò)張的學(xué)習(xí)是學(xué)生思維能力得到提升的一個(gè)重要內(nèi)容。例如：自然數(shù)的無限性，分?jǐn)?shù)是一對(duì)整數(shù)之比的形式,正負(fù)數(shù)相加的本質(zhì)是“抵消”,無理數(shù)、復(fù)數(shù)的存在性等等，都是人類智慧的成果。雖然在中小學(xué)教學(xué)中，部分學(xué)生很難厘清之間的來龍去脈及緣由，但可以強(qiáng)調(diào)它的文化意義及價(jià)值所在,特別是對(duì)于一些的優(yōu)秀的學(xué)生,適當(dāng)?shù)膹?qiáng)調(diào)和滲透是極有必要的，以便提高學(xué)生的理性思維能力。

　　數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)地分析問題和處理問題的方法論,它是數(shù)學(xué)學(xué)科的“靈魂”,是數(shù)學(xué)學(xué)科建立和發(fā)展的重要因素.而高等數(shù)學(xué)中的集合蘊(yùn)藏了豐富的數(shù)學(xué)思想，如:并集思想、交集思想、補(bǔ)集思想等.在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,若能靈活的將集合思想融入,學(xué)生不僅可以學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地看待問題,還能理性地處理問題。

　　4對(duì)新課程改革的個(gè)人認(rèn)知

　　新課程改革后，中學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的更新,使得高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)有了更緊密的聯(lián)系。開展高等數(shù)學(xué)視角下的中學(xué)數(shù)學(xué)研究,并不是要求中學(xué)數(shù)學(xué)教師要教學(xué)生用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)或方法去思考、解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題，而是倡導(dǎo)教師，很有必要掌握用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法研究中學(xué)數(shù)學(xué)教材和問題，領(lǐng)會(huì)高等數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的思想。這樣做，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容得到更全面的、更系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。

　　就集合而言，在中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，雖然對(duì)基數(shù)、冪集、代數(shù)體系、數(shù)系的擴(kuò)張等內(nèi)容沒有作要求,但在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中會(huì)涉及到此類內(nèi)容。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，不僅要傳授給學(xué)生教材中的基本知識(shí)，更要將知識(shí)中蘊(yùn)含的思想方法傳授給學(xué)生。以本研究為例，集合的發(fā)展史、數(shù)系的擴(kuò)充、集合理論的應(yīng)用，對(duì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)都有極大的幫助。最后，教師要積極主動(dòng)的探索中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)與高等數(shù)學(xué)知識(shí)間的理論聯(lián)系。這才會(huì)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)施更有把握。因此，提倡中學(xué)數(shù)學(xué)教師要以知識(shí)重構(gòu)為切入點(diǎn),重溫高等數(shù)學(xué)等數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)。常學(xué)、常用，以理論支撐實(shí)際，用實(shí)踐完善理論。

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　　5總結(jié)

　　高等數(shù)學(xué)中的集合內(nèi)容是中學(xué)數(shù)學(xué)中集合內(nèi)容的延伸和拓展，也是中學(xué)數(shù)學(xué)階段到大學(xué)數(shù)學(xué)階段的橋梁。在中學(xué)集合的教學(xué)中，不能只圍繞集合的基本概念和基本運(yùn)算，由集合衍生出來的概念、集合語言和集合理論的應(yīng)用也同樣影響著學(xué)生對(duì)集合的學(xué)習(xí)。教師在注重基本概念教學(xué)的同時(shí)更要注意學(xué)生對(duì)集合思想的領(lǐng)悟，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

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　　作者：秦建勇