在各種人類文化活動和文化符號生成過程中，時常蘊涵著各種數學原理。從人類文明史進程來看，各個時代的總體文化特征與同時代科技活動存在某種必然關聯，這符合藝術發展的規律。文化符號生成過程中蘊涵著新思想、新技術以及對時代先進生產力的吸收與利用等特征,常見于人類的文化與藝術之史。這符合文明發展的規律。近年來,有關中西方藝術與科技相融合的歷史，以及傳統文化現代價值的各類研究越來越受到人們的關注，值得人們系統的、多元化的思考。

　　關鍵詞：數學,文化符號,數學觀

　　一、數學的生命力植根于社會生活

　　如果與人類的文明史相比較,顯然，數學形成和發展的歷程就略顯簡短。事實上,數學一直與人類的文化與科技生產力有必然的關聯,數學是人類文化的組成部分。數學家柯朗(RichardCourant)曾這樣定義數學：“數學，作為人類思維的表達形式……以及對完美境界的追求。”[1]從大量的文化考古及研究中發現,數學具有博大精深的內涵。在人類古文明中，大量的數學、天文、地理等知識被運用于金字塔和各種神殿等建造中。其實，在古代中國，古人很早就懂得應用數學分析和研究客觀世界。在天文學領域中，中國人發明了“歷算”，其理論基礎就是數學。象征著古埃及文明的著名建筑金字塔共有100余座，大量的數學、天文、地理、生理等知識被運用于金字塔及神殿的建造。

　　古代埃及人在勞動與生活實踐過程中應用了大量的數學知識。從某種意義上說，幾何學的形成是“尼羅河水泛濫所帶來的恩賜”。古埃及人制定了“歷法”，其理論基礎就是數學。與此同時，眾多的實際需要和興趣激發了數學活動的靈感,又進一步推動數學本身的發展。在瑪雅文明中，存在著大量的歷史遺跡,如金字塔、神殿、天文臺以及石碑等。這些被展示的文化符號，在體現其某種文化特征、象征意義等內容的同時，蘊涵著某種數學觀或數學“法則”。

　　眾所周知，人類歷史上首先發明“零”概念的就是瑪雅人，因此，古瑪雅人在數學等方面的成就令人驚訝，對往后的計算科學和計算機的發明具有促進和推動意義。由于瑪雅文明被人們所認識的時間不長，大約是在上世紀四十年代，因此，常被稱為失落的瑪雅文明。

　　人們都熟知埃及有金字塔，卻很少有人知道古代瑪雅金字塔的數量比埃及還多。而且，瑪雅金字塔與埃及金字塔的結構、功能和意義完全不同。前者為實心，塔頂供教士們居住或觀察天象之用，塔前廣場是祭典場所;而后者是空心，內部為帝王陵寢。據考證，瑪雅文明的金字塔的每一塊石塊都與歷法、數學、天文有關。由此可見，大量的數學、天文、地理等知識被運用于瑪雅金字塔的建造之中。古希臘時期，柏拉圖等人試圖將數學、幾何學與人的審美經驗相互聯系在一起。畢達哥拉斯則認為“萬物皆由數來安排”。

　　難以置信，這些數學的法則和比例，在古希臘會產生如此廣泛的影響。在文藝復興時期，這種所謂“數學法則”仍舊被普遍應用于各類藝術創造過程中，對數學家、畫家、建筑師乃至音樂家仍具有普遍的吸引力。藝術上的理性主義觀念進一步表現為對各種寫實技法的研究與運用。在繪畫中,利用人體解剖學、光影法、透視學等科學原理及寫實技法使作品更能表現客觀的真實感。與中世紀繪畫相比較,文藝復興時期的作品在二維平面中引入了第三維的概念，即在繪畫過程中處理了空間、距離、體積、質量和視覺印象等。而具有三維空間感的畫面效果只有通過射影幾何學和透視學等原理及寫實技法才能得到，其原理的核心是數學。

　　綜觀人類文明的發展史，文化符號在生成過程中時常能找到大量“數學法則”被普遍應用于各類藝術實踐活動，豐富的例證常見于歷代文化與藝術之中。對稱，在數學上，指的是研究對象在某種變換或操作下始終保持不變的性質，因而，在科學上具有根本性意義。在人類的文化中，對稱與平衡、和諧、秩序、形式美感等概念聯系在一起。尤其在中國文化中，對稱蘊涵著不偏不倚的中庸之道，事實上，中和之道幾千年來內化成了中華民族特有的意識與內在性格，一直延續至今。對稱具有數學與文化雙重的含義，遠在人類文明之前，自然界中的植物與花卉大都具有對稱特征，以人類為代表的脊椎動物都具有左右對稱特征。人類在最早期的改造自然過程中，已從自然界中發現和運用這一數學靈感，大量的歷史與文化遺跡可以證明這一觀點。同時，事實證明，數學的生命力根植于社會生活。

　　二、數學對稱理論

　　如前所說，對稱在科學上具有根本性意義。在對象上的任何一種對稱變換或對稱操作,只影響對象幾何學性質照片，洞穴中的地磚、墻飾等都能發現人類對平衡、形狀、空間、形式等概念的思考上變化，反演操作，使一切重新回到原點。H.J.Woods,在19世紀30年表的四篇研究論文“圖案設計的幾何基礎”(TheGeometricalBasisofPatternDesign)[2]，以及OwenJones的著作《裝飾原理》(TheGrammarofOrnament)，被公認是對稱與圖案設計領域十分有影響的研究。

　　E.H.Gombrich有著作《秩序感》(“TheSenseofOrder”-Astudyofthepsychologyofdecorativeart)。他的相關研究，被認為拓展了對稱研究的視野，他從符號、文化與數學的綜合視角研究藝術，具有重要的影響力。平面對稱，是以四種對稱變換或對稱操作在平面中的應用為特征。即，平移(Translation)、旋轉(Rotation)、反射(Reflection)，滑移反射(Glide-reflection)。數學家Coxeter[3],Jeger[4],Guggenheimer[5],Yale[6],Schattschneider[7]的研究在數學、晶體學領域具有重要的影響力。荷蘭藝術家M.C.埃舍爾(M.C.Escher)是將“數學法則”普遍應用于圖形創意的典范，他的圖形創意，不僅創造了生動的藝術形象，而且融合了數學對稱思維的靈感。

　　1.對稱原理與術語解釋對稱，數學上有嚴格的定義，如前所說，四種對稱變換或對稱操作，可以單獨或組合作用于對象，呈現相應不同的對稱特征，并根據相應的對稱操作在對象中的組合情形進行科學系統的分類。在平面中，平移是構成二維圖案的最基本特征，但是，平移是在兩個不同的互不平行的方向上進行的。如果平移只朝某單一方向，只能構成帶狀圖案。詳細的對稱變換示意(鏡像反射軸由符號m標示，滑移反射軸由符號g標示)參見圖7。

　　2.對稱與相關符號的進一步的解析對稱的相關同義術語有全等變換(congruencetransformation)、等距同構(isometries)等。

　　在二維平面中，平移是構成二維圖案的最基本特征，但是，平移是在兩個不同的互不平行的方向上進行的。如上所述，在平面中，四種對稱變換可以單獨或組合應用于圖形結構之中，并構成相應的對稱和分類特征。示意了一個由等邊三角形所構成的平面，如圖所示，可以借助連續反射等邊三角形構成平面、圍繞等邊三角形的頂點O連續旋轉60º構成平面。在平面中，平移是構成二維圖案的最基本特征，如果在最基本單元中任選一個點，通過在兩個分別不同的互不平行的方向上進行平移，就能形成等距規律性的重復點陣。在平面點陣中，根據連接點陣方式的不同，允許形成各種不同的基本平移單位。

　　在平面中，平移是構成圖案的最基本特征，共有5類不同的點陣，在對稱原理允許范圍內構成的基本結構框架(基本平移單位)，分別是：平行四邊形、菱形、長方形、正方形和六邊形。這種局限被稱為“結晶學限制”。相關17種不同對稱特征的圖案結構。Martin[8]和Schwarzenberger[9]提供了相關的理論依據，不同的對稱特征由相關通用的國際晶體學通用符號標示(括號內為簡化的符號標示)。詳解參閱本文所列參考書目。

　　三、對稱在傳統建筑文化符號中的具體應用

　　在人類的文化、藝術、建筑等各種活動中時常發現與數學的淵源，如前所說，在人類文化中，對稱時常與平衡、和諧、秩序、形式美感等概念聯系在一起。對稱蘊涵著不偏不倚的中庸之道，事實上，幾千年來內化成了中華民族特有的意識與內在性格。因此，傳統建筑，作為被展示的文化符號，其建筑的風格、形式結構、美學追求等因素受到影響是必然的。

　　1.對稱在傳統建筑文化符號中的表現在中西方傳統建筑的建造中，人們經常發現，這些作為被展示的文化符號，在體現某種文化特征、象征意義等內容的同時，其背后時常蘊涵著某種數學元素或數學“法則”。從本質上看，文化和藝術之間的差異，追根尋源，主要是由于各自文化的哲學思想不同所導致的。大量的歷史與文化遺跡證明了這一觀點。數學，作為人類思維的表達形式，以及對完美境界的追求，對人類的哲學思想的形成具有影響作用，同時也構成了數學科學的生命力。

　　中國傳統建筑布局、城市規劃等都十分講究對稱，因為對稱所呈現出的特性以及視覺上的中庸、秩序、和諧、莊嚴等特征與文化意義上的對稱含義是相一致的。孔子曰：“不偏為中，不變為庸。”這種中庸思想對中國人行為觀念、文化活動、建筑布局、城市規劃，甚至人倫秩序等必然會產生影響。就我們首都北京的城市布局而言，不論城市如何拓展與變化，始終沿著城市中軸線進行規劃和設計。城市規劃布局中的對稱觀念,自中國古代一直延續至今，塔結構是基于中心及軸反射對稱原理而構筑(資料來源于《世界文明奇跡》，王偉芳、余開亮編)。

　　在跨文化的藝術研究中，人們不難發現，由于人類生活在不同的區域和民族文化族群之中的緣故，往往會存在文化和哲學觀上的差異，進而導致人的認知、審美傾向偏好等諸方面的不同。對稱雖然是人類在生活與實踐過程中共同發現的數學靈感，然而，在現實生活、各類文化活動中的應用和藝術效應仍會存在十分明顯的區別。這種差異主要體現在文化符號的形式特征、審美特征等各層面。

　　例如，古代羅馬人和生活在地中海沿岸的居民，他們與其他民族人群之間，有時盡管會應用相同的“數學法則”創造各自的文化符號，但是，符號的形式、審美特征方面肯定會有很明顯的區別。古羅馬人的裝飾風格與其他民族的裝飾風格就存在十分明顯的差異古羅馬時期的裝飾風格同樣也十分講究對稱，大量的建筑墻面、地面、墻壁、柱子以及天頂上的彩繪裝飾等，都體現著古羅馬時期的藝術風格。其圖案裝飾風格很特別，通常以人類、動植物以及自然景象的鑲嵌圖案(馬賽克)作為裝飾。

　　這種追求和諧、秩序、對稱的審美觀，也同樣早已內化成了古羅馬人的民族意識與內在性格，是古羅馬文化與美學的精髓。早期的摩爾人(阿拉伯人)的裝飾風格和審美觀十分獨特。大量能被展示的文化符號在生成過程中時常能找到“數學對稱法則”被普遍應用于那些藝術實踐活動，豐富的例證常見于歷代文化與藝術之中。圖案裝飾風格給人留下深刻的印象。是西班牙摩爾人(moor)諸王的豪華宮殿(AlhambraPalace)格蘭納達薄呢，穆斯林和伊斯蘭教的裝飾風格和對稱圖案給人們留下了深刻印象(資料來源于Symmetry,byHermannWeyl)。圖20是中國傳統的窗花裝飾設計，圖形的結構蘊藏著數學對稱。

　　2.對稱在傳統建筑文化符號及相關裝飾品中的表現對稱在傳統建筑文化符號及相關裝飾品中的范例十分豐富，這些圖案裝飾大都出現在手工藝品、織物、編織工藝品、器具、陶藝等上。這些來自不同區域、民族和文化的原始手工藝品，具有不同的裝飾風格，但都是基于對稱原理而構成的。在藝術考古中，人們經常發現，在不同的區域和民族文化遺產中，存在著十分類似的裝飾及圖案結構，這并不是意外和巧合，這是人類的創造和文化活動所基于相同的數學靈感啟示的緣故。但是，由于民族、文化、區域的差異，同樣會產生許多豐富有趣而不同的表現。

　　四、結語

　　本文經過對中西方傳統的被展示的建筑文化符號的研究，清晰地意識到，由于人類在文化和哲學思想上存在著差異性，因此,導致人的認知、審美、民族意識以及人的內在性格等完全不同。同時，這種差異性也必然會影響到人類的各種文化活動，甚至即便在同類文化活動中，遵循相同的“數學法則”開展藝術實踐活動，實踐的結果之間(作品風格之間)同樣會存在十分明顯的差異。研究文化符號中所蘊含的數學觀，意義十分明確，希望人們能清晰地意識到，人類文明發展進程中數學與文化的關系，以及數學在人類文明發展中的積極作用。事實證明，對稱具有數學與文化的雙重的含義，數學是文化的一部分。

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