基于加權三次曲面擬合的GPS坐標轉換
章思亮

摘  要：GPS系統的建立為測繪工作提供了一個嶄新的定位測量手段,由于GPS定位技術具有高精度、速度快、成本底的顯著優點,因而在控制測量及城市工程網的建立、更新與改造中得到了廣泛的應用。本文主要闡述了GPS定位系統所采用坐標系之間的轉換，并將加權三次曲面擬合法應用到坐標轉換中來處理轉換殘差，并以靖安縣城市控制網修訂為實例將該算法與不加權的三次曲面擬合法和徠卡GPS自帶后處理軟件處理結果相比較，證明了該算法的有效性與實用性。
關鍵詞：GPS坐標系,坐標轉換,殘差處理,加權三次曲面擬合
一、引言
隨著GPS技術的應用和普及，越來越多的工程需要利用GPS衛星定位系統來進行測量。目前GPS測量常用的坐標系統有WGS-84坐標系、1954年北京坐標系、1980西安坐標系和地方獨立坐標系。很多情況下，為了便于統一利用，需要將一套坐標變換為另外一套坐標，比如將WGS-84坐標變換為當地獨立坐標，舊平面控制坐標改造為新坐標。常用的坐標系轉換方法有七參數經典3D轉換法、一步法、插值方法和分片平滑插值方法等。但是，當控制網中存在局部系統性誤差時，兩套坐標之間并不存在確切的幾何關系。采用以上的相似變換必然存在模型誤差，致使坐標變換殘差(誤差 )增大。本文采用加權三次曲面擬合法處理坐標變換殘差，取得了明顯效果，并通過對靖安縣城市控制網的修訂工程實例加以驗證。
二、坐標變換殘差來源分析
兩套坐標進行變換，影響變換精度的主要因素有起算坐標精度、模型精度、點位分布等。這里重點討論模型精度對坐標變換殘差的影響,因此假設坐標精度和點位分布對變換殘差的影響為零。某點舊坐標到新坐標的變換過程為：
                                                   （2.1）
式中，等號右邊第二項表示變換后坐標軸方向的殘差；為坐標變換模型函數。
對式(2.1)用誤差傳播定律得到：
                                                 （2.2）
依照之前的假設，式(2.2)等號右邊第一項為零，則有：
                                                         （2.3）
說明殘差與模型誤差數值上有對應關系，模型誤差越大則殘差越大。但該對應關系一般是非線性關系，具體決定于模型函數。
3、加權三次曲面擬合法數學模型、權的確定及精度評定
3.1加權三次曲面擬合法數學模型
若建立兩套坐標系統時控制網存在局部系統誤差，該誤差將引起控制網扭曲。當直接采用相似變換進行坐標轉換時，局部系統誤差將綜合到相似變換模型中，必然使變換殘差增大；另外,從第一點的推導中已經知道，模型誤差的大小直接影響變換殘差。因此，采用擬合模型對變換殘差進行回歸分析是可行的。
假設某點坐標經過變換后，變換殘差分別為Δx,Δy,Δz,其值為：
                                                         （3.1）
其中,等號右邊第二項由舊坐標通過相似變換參數求得。對某點的變換殘差進行三次曲面擬合逼近有：
       （3.2）
如果有 n個點,則上式可改寫為法方程形式:
                                                                   (3.3)
其中，，；
，
根據最小二乘原理可得擬合系數向量β的估計向量:
                                                           （3.4）
3.2 權的確定
最小二乘求解時定權函數為：
                                                             （3.5）
其中表示點與點之間的距離。表示參與解算的點號；e某小值常數，防止分母等于0；k為某正整數，為便于計算一般取1～3[1]。
3.3 精度評定
對參數向量進行最小二乘估計后 ,則單位權中誤差為：
                                                               （3.6）
其中，n為參與計算的點數。
4、實例驗算
4.1 工程算例介紹
本文中宜春市靖安縣城市控制網更新為實驗實例。靖安縣原城市控制網是江西地質局在2004年采用采用靜態 GPS量測基線并經基線處理和聯合平差，得到的坐標(自由網平差平面點位誤差為毫米級、三維點位誤差為厘米級)（部分控制點數據如表4-1）。由于這些年城市的發展和一些人為的因素，有些地方的控制點遭到嚴重破壞，為了適應建設的需求，在最近我們在原來控制點的基礎上進行了修補加密工作。本次施測采用GPS動態模式放樣進行的，坐標精度較原來低。為了沿用原坐標，我們通過坐標轉換將新的坐標符合到原坐標。實測的WGS-84坐標（如表4-2），采用一步法進行坐標轉換，得到橫坐標最大殘差為3.5cm，縱坐標最大殘差為2.7cm。而城市精確控制測量要滿足固定誤差a≤1cm[7]，因此有必要對轉換殘差進一步處理。
表4-1靖安縣原城市控制網部分控制點數據
點標識 東坐標（m） 北坐標（m）
1 632619.826 3195738.81
2 631621.898 3195887.659
3 631874.359 3195940.497
4 632168.621 3196404.553
5 631350.524 3195830.863
6 631087.948 3195775.909
7 631064.379 3196103.515
8 630705.049 3195695.772
9 631389.229 3195292.186
表4-2靖安縣城市控制網修訂部分控制點WGS-84坐標數據
點標識 經度（度o分’秒’’） 緯度（度o分’秒’’）
1 28°52'00.19748" N 115°21'46.68872" E
2 28°52'38.77768" N 115°21'46.00613" E
3 28°52'19.35065" N 115°20'58.96760" E
4 28°52'35.93612" N 115°21'19.36112" E
5 28°52'13.70586" N 115°20'24.23748" E
6 28°52'38.43685" N 115°21'46.83580" E
7 28°52'37.00274" N 115°21'19.92853" E
8 28°52'18.35722" N 115°20'59.17658" E
9 28°52'14.24081" N 115°20'39.69497" E
表4-3靖安縣城市控制網修訂部分控制點一步法轉換后的BJ-54坐標數據
點標識 東坐標（m） 北坐標（m）
1 632619.827 3195738.811
2 631621.874 3195887.639
3 631874.352 3195940.508
4 632168.656 3196404.528
5 631350.523 3195830.89
6 631087.945 3195775.904
7 631064.393 3196103.507
8 630705.025 3195695.751
9 631389.215 3195292.197
4.2坐標變換殘差擬合處理
根據第3節的介紹編制了MATLAB擬合分析程序對本算例進實驗。分別采用加權三次曲面擬合、三次曲面擬合和徠卡自帶后處理軟件一步法轉換對本文數據進行處理，結果如表4-3。
表4-3 實驗處理結果
加權三次曲面擬
合后殘差（m） 三次曲面擬合
后殘差（m） 徠卡自帶后處理軟件
一步法轉換殘差(m)
點標識 x1 y1 x2 y2 x3 y3
1 1.149e-6 3.9283e-5 1.3883e-4 -1.5833e-4 -0.001 -0.001
2 1.3169e-5 4.3032e-5 -2.2241e-4 4.8335e-5 0.024 0.02
3 1.1014e-5 4.1442e-5 -1.6168e-4 6.7974e-6 0.007 -0.011
4 1.1821e-5 3.7232e-5 -1.0753e-4 -4.4557e-5 -0.035 0.025
5 1.5356e-5 4.4953e-5 -2.2696e-4 5.5126e-5 0.001 -0.027
6 1.7348e-5 4.7022e-5 -1.4856e-4 8.2873e-5 0.003 0.005
7 2.0312e-5 4.524e-5 -9.6712e-5 -3.7164e-5 -0.014 0.008
8 2.0045e-5 5.0407e-5 1.5889e-4 -1.8723e-4 0.024 0.021
9 1.0927e-5 4.6375e-5 -1.9757e-4 5.4209e-5 0.014 -0.011
殘差中誤差（m） 1.4554e-5 4.4056e-5 1.6788e-004 8.9394e-5 0.01773 0.01676
    從上表可以直觀的看出經過對轉換數據進行加權三次曲面擬合和三次曲面擬合的殘差處理結果可以看出，轉換坐標的精度有大幅度提高，滿足了城市精確控制測量的要求。

(a)加權與不加權三次曲面擬合x方向上殘差          (b)加權與不加權三次曲面擬合y方向上殘差
圖4-1 兩種方法的殘差結果處理圖

圖4-2 有粗差參與計算時兩種方法的殘差結果處理圖
雖然三次曲面擬合與加權三次曲面擬合兩種方法處理的殘差結果精度上都可以到達城市精確控制測量需要，但加權三次曲面擬合法精度更高，且加權以后結果精度變化幅度較小（圖4-1中藍色*線所示），不加權的處理結果精度變化幅度較大（圖4-1中紅色-線所示），而粗差在參與殘差處理時也會出現結果曲線的大幅度震動，使擬合模型扭曲（圖4-2所示）。兩者相比較，加權三次曲面擬合能很容易探測出粗差，這樣在計算時我們就能及時地將粗差點隔離，保證處理結果的精度。
5 結論
通過工程算例,發現加權三次曲面擬合回歸對于坐標相似變換殘差具有良好效果,不但解決了精度問題，還克服三次曲面擬合容易受到粗差影響的困難，對舊網坐標改造、聯合平差前坐標系統一等具有重要使用價值。對于本算例,由于加權三次曲面擬合彌補了控制網中的局域性系統誤差,使結果符合城市精確控制測量要求。但是,實際應用時采用何種擬合方法需要結合工程的精度要求全面考慮。

參考文獻
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