《談小數(shù)概念課教學(xué)的有效性》論文發(fā)表期刊：《小學(xué)教學(xué)參考》；發(fā)表周期：2021年11期

《談小數(shù)概念課教學(xué)的有效性》論文作者信息：李志

　　[摘要]小數(shù)概念課教學(xué)是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要部分，理解小數(shù)的概念，為學(xué)習(xí)小數(shù)的大小比較、小數(shù)的性質(zhì)、小數(shù)的加減法以及解決實際問題奠定知識基礎(chǔ)。在教學(xué)小數(shù)概念時，教師要關(guān)注三個核心概念，滲透三種重要的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷小數(shù)認(rèn)知過程中的五個不同層次。通過“三三五教學(xué)策略”，提高小數(shù)概念課教學(xué)的有效性。

　　[關(guān)鍵詞]小數(shù)概念課教學(xué);有效性;核心;思想方法

　　小數(shù)的認(rèn)識，是數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)τ谡麛?shù)離散性到小數(shù)的稠密性的一次重要擴(kuò)充。而小數(shù)的認(rèn)識是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要部分，對學(xué)生來說，學(xué)習(xí)小數(shù)是數(shù)域的一次擴(kuò)充。關(guān)于小數(shù)概念的教學(xué)，人教版教材分兩個階段進(jìn)行，第一階段安排在三年級下冊，第二階段安排在四年級下冊。三、四年級是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵時期，況且，小數(shù)的概念是小數(shù)知識體系的基礎(chǔ)，所以提高小數(shù)概念課教學(xué)的有效性就尤為重要。在小數(shù)概念課教學(xué)中，教師要把握小數(shù)的核心概念，滲透重要的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

　　一、關(guān)注小數(shù)概念的三個核心，深入理解小數(shù)的含義

　　1，小數(shù)意義的理解。對于小數(shù)的概念，三年級教材是這樣定義的--像3.45 0.85.2.60、36.6樣的數(shù)叫作小數(shù)，采用描述性方式表達(dá)了什么是小數(shù)，通過舉例的方式讓學(xué)生初步感知什么是小數(shù)。三年級學(xué)生初步接觸小數(shù)，主要在具體的情境中理解小數(shù)的意義，對小數(shù)的認(rèn)識更多的是建立在生活中熟悉的具體量或者直觀圖形的基礎(chǔ)之上的，是感性的。到了四年級，教材是這樣描述小數(shù)的：分母是10，1001000的分?jǐn)?shù)可用小數(shù)來表示，采用描述的方式定義什么叫小數(shù)。盡管已經(jīng)建立在具體量與直觀或半直觀模型之上的，但是四年級學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)最終需要脫離具體的量與圖形，抽象概括出小數(shù)的意義，認(rèn)識小數(shù)的本質(zhì)，理解小數(shù)就是在不斷分的過程中產(chǎn)生的。因此，在設(shè)計每個階段的學(xué)習(xí)活動時，教師一定要把握教材的教學(xué)尺度與要求，不拔高、不降低標(biāo)準(zhǔn)，科學(xué)合理地安排教學(xué)內(nèi)容。

　　2，小數(shù)計數(shù)單位的認(rèn)識。數(shù)的認(rèn)識有兩個維度，一是數(shù)的產(chǎn)生，二是數(shù)的組成。二者相輔相成，互相解釋驗證。任何一次數(shù)域的擴(kuò)充都是來自于生產(chǎn)生活。小數(shù)的產(chǎn)生也不例外。三年級下冊教材在“小數(shù)的認(rèn)識”起始課就創(chuàng)設(shè)了大量的生活場景，商品的重量和價格、學(xué)生的體溫、兒童的身高等大量的、學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)信息，讓學(xué)生感知小數(shù)產(chǎn)生的必要性和用小數(shù)記錄的便捷性。這是來自實物的計數(shù)，還需要向抽象出小數(shù)的本質(zhì)屬性過渡，圖示便是最好的表達(dá)方式。有一位教師在“小數(shù)的認(rèn)識”一課中設(shè)計了這樣一個環(huán)節(jié)：出示一張被平均分成10份的長方形紙，將其中6份涂色，問學(xué)生用哪個數(shù)表示涂色的部分。學(xué)生想到0.6，因為里面有6個0.1;教師繼續(xù)在第7份中涂了一點顏色，問“還能用0.6表示嗎?"一步步引導(dǎo)學(xué)生把第7份平均分成10份，進(jìn)而想到把這個長方形平均分成100份，得到0.61;如果再增加一份呢?.

　　增加到0.66后接著分析兩個6是否一樣，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識第一個6表示6個0.1，第二個6表示6個0.01。這樣，學(xué)生對小數(shù)計數(shù)的產(chǎn)生就有比較深刻的認(rèn)識了。學(xué)生經(jīng)歷了小數(shù)的產(chǎn)生過程，很好地理解了小數(shù)的計數(shù)單位。如果學(xué)生不理解小數(shù)的計數(shù)單位，很難深入地理解小數(shù)的意義。一個小數(shù)十分位上的數(shù)字，它的計數(shù)單位是十分之一，表示幾個十分之一;百分位上的數(shù)字，它的計數(shù)單位是百分之一，表示幾個百分之一：千分位上的數(shù)字，它的計數(shù)單位是千分之一，表示幾個千分之一…比如0.35，可以看成是由35個0.01組成，也可以看成由3個0.1與5個0.01組成。小數(shù)的計算單位是小數(shù)的一個核心概念，通過數(shù)計數(shù)單位產(chǎn)生新的計數(shù)單位，通過分一個計數(shù)單位，也會產(chǎn)生一個更小的新的計數(shù)單位，讓學(xué)生感受相鄰兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率是103·十進(jìn)制計數(shù)法。整數(shù)采用的十進(jìn)制計數(shù)法，在表示小數(shù)的時候同樣適用。小數(shù)是十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的另一種表現(xiàn)形式，學(xué)生只有認(rèn)識到這一點，才能夠?qū)⑿��?shù)、分?jǐn)?shù)與整數(shù)三者聯(lián)系起來，建立比較完整的數(shù)的體系。如何幫助學(xué)生理解小數(shù)十進(jìn)制計數(shù)法呢?一位教師在教學(xué)了一位、兩位、三位小數(shù)以后，出示一個動畫課件：1個正方體，把正方體平均分成10份并將其中的1份涂色，把正方體平均分成100份取其中的1份，把正方體平均分成1000份取其中的1份。從圖中發(fā)現(xiàn)，自然數(shù)“1"不斷地疊加就得到了10，1001000.自然數(shù)1不斷地平均分成10份、100份1000份 就得到了0.1 0.01 0.001..過來看，

　　10個0.001就是0.01，10個0.01就是0.1，10個0.1就是1，10個1就是10最后用一句話總結(jié)，就是每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率是10，巧妙地讓學(xué)生理解了小數(shù)與整數(shù)一樣，也可采用十進(jìn)制計數(shù)法。

　　二、滲透三種思想方法，豐富小數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)涵1，培養(yǎng)敷感。托拜厄斯·丹齊克(Tobias Danzig，

　　1967)于1954年引入了“數(shù)感”這一術(shù)語，將之描述為：在個體沒注意到的情況下，在一小堆物體中增加或者移除一個物體后，個體能夠意識到這堆物體發(fā)生了變化的能力。小數(shù)的數(shù)感是什么呢?比如說看到1.7能馬上想到量，想到1.7元，想到一個作業(yè)本的價錢，一支圓珠筆的價錢，等等;或者是能馬上想到1.7的大小，1.7在哪兩個整數(shù)之間。那么如何在小數(shù)概念課中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感呢?

　　首先，要結(jié)合具體的量，比如用長度單位來認(rèn)識小數(shù)的意義。例如認(rèn)識0.35時，看到0.35馬上聯(lián)想到

　　0.35米，知道0.35米是35厘米，可從米尺上找到0.35米的長度，也可用手大概比畫出0.35米的長度，等等。其次，教師還可以在不斷地猜數(shù)字的過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，如教師寫下一個小數(shù)，提示“它比0.6大，比0.8小”，然后采用區(qū)間套逼近的方法讓學(xué)生不斷地去猜小數(shù)，用大得多、大一些、小得多、小一些等詞語幫助學(xué)生猜，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

　　2，建立模型思想。數(shù)學(xué)模型是指對于一個現(xiàn)實對象，為了達(dá)到某種特定的目的，根據(jù)其內(nèi)在的規(guī)律，做出必要的簡化假設(shè)，再用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具將對象轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在小數(shù)概念課中教師應(yīng)注重模型思想的滲透。例如，一個具體的小數(shù)0.3就是一個數(shù)字模型。首先，要在實際情境中提煉出0.3：把一張長方形紙平均分成10份，涂色3份，用0.3表示。其次，拓展模型的外延，給這個數(shù)字棋型賦予更多的生活意義。如“表示你心中的0.3"，學(xué)生在動手操作的過程中，得出了不同的答案，有的加單位分米，得到0.3分米，在直尺上找到了0.3分米;有的加元，得到0.3元，用語言表述0.3元的意義;有的用正方形分-分表示0.3…在這里，把0.3這個抽象的數(shù)字看成一個模型，學(xué)生用生活中的情境講述了0.3的意義，更重要的是初步滲透了數(shù)學(xué)建模思想，訓(xùn)練了學(xué)生抽象、概括、舉一反三的學(xué)習(xí)能力。通過思維的發(fā)散與聯(lián)想讓學(xué)生對"0.3"這個模型進(jìn)行擴(kuò)張和推廣，學(xué)生能夠深入理解0.3這個小數(shù)的本質(zhì)屬性，進(jìn)而利用遷移類推的方法來理解認(rèn)識其他的小數(shù)。

　　3·滲透極限思想。極限思想是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。簡單地說，極限是一種趨向性，無窮無盡。小數(shù)的產(chǎn)生就是一個不斷進(jìn)行平均分的過程。一位教師設(shè)計了這樣一個環(huán)節(jié)：用0、2.3和一個小數(shù)點組成一個最小的小數(shù)(學(xué)生得到0.23)，如果加上單位“米"就是0.23米，你能在軟尺上找到0.23米嗎?在軟尺上找到0.023米，表示2厘米3毫米;找到0.0023米，表示2毫米3絲米;找到0.00023米，表示2絲米3忽米;找到0.000023米，表示2忽米3微米，雖然這個小數(shù)很小很小，可是科技工作者卻非常在乎這樣的小數(shù)，你知道為什么嗎?學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情高漲，在一次一次對未知長度單位的猜測中，在一次一次找尋長度的體驗中，流淌著他們對長度及單位不斷變化的真實感受。隨著對小數(shù)的深入認(rèn)識，他們清楚地看到都是用0.2.3來表示的數(shù)，長度卻在逐步地縮小再縮小，小到已經(jīng)很難用肉眼分辨，就在放大鏡下繼續(xù)分、再分、繼續(xù)分。學(xué)生也知道了，有些小數(shù)是可以用眼睛看到的，但是有些小數(shù)看不到只能想象。此時，學(xué)生深深地領(lǐng)悟中間總是有空隙的，是很小很小的空隙。學(xué)生頭腦中已經(jīng)開始萌發(fā)數(shù)學(xué)的極限思想，學(xué)生也知道了小數(shù)的出現(xiàn)是為了更精確地認(rèn)識數(shù)，同時還體會到了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)與真實性。

　　三、經(jīng)歷五個認(rèn)知層次，科學(xué)有效地掌握小數(shù)知識

　　德恩特蒙特認(rèn)為，小數(shù)學(xué)習(xí)的認(rèn)知過程包括五個不同的層次：具體物的層次、操作說明的層次、程序的層次、心智的層次和抽象的層次。

　　1.具體實物的層次。這是小數(shù)學(xué)習(xí)的第一個步驟，通俗地說，就是聯(lián)系生活實際，引出學(xué)習(xí)的素材。例如，一位教師在教學(xué)"小數(shù)的意義”這節(jié)課時，拿出了一個運動會中用過的別針，問道：“這種別針多少錢一個?"有學(xué)生答道："1角。”有的學(xué)生說："0.1元。”教師繼續(xù)提問：“難道1角=0.1元?0.1元表示什么意義?

　　0.01元表示什么意義?本節(jié)課我們就一起來研究0.1、0.01 0.001等小數(shù)的意義。”在這里，探究的素材就是來源于學(xué)生熟悉的具體物件，它是實實在在的，不陌生的。

　　2·操作說明的層次。通過數(shù)形結(jié)合的方法，將物轉(zhuǎn)化成直觀的可操作的形，直觀地解釋某一個具體物中小數(shù)的含義。“一個別針0.1元"，這里的0.1元到底是什么意思?教師把量轉(zhuǎn)化成圖：“如果把1元看成一張正方形的紙，那么1角會占這一張紙的多大一塊?”學(xué)生一開始的表達(dá)是不完整的，但互相補(bǔ)充以后就得到了1元=10角，“把1元看成一張正方形的紙，把這張紙平均分成10份，1角就占其中的一份，用分?jǐn)?shù)表示是十分之一元，用小數(shù)表示是0.1元，其中的0表示0元，1表示1角"。在操作的過程中，學(xué)生通過實際情境與圖形雙重素材初步感知了0.1的含義。結(jié)合1元-100分，學(xué)生也會通過此種操作理解0.01元的意義。

　　3.程序操作的層次。會使用操作法則直觀理解多個小數(shù)。學(xué)生初步理解了0.1元或者是0.01元的意義并不代表能夠理解其他小數(shù)的意義，他們知道了把1元平均分成10份，取出其中的一份就是十分之一元，也就是0.1元，那么按照剛才的操作程序，取出2份、3份呢，他們會嗎?為了讓學(xué)生更深一步理解，教師需要引導(dǎo)學(xué)生按程序來進(jìn)一步操作：“我們知道了1角、十分之一元與0.1元之間的關(guān)系，在圖中你還看到了幾角?它可用哪個分?jǐn)?shù)和小數(shù)來表示呢?為什么?"按照這樣的程序操作，能夠進(jìn)一步加深學(xué)生對一位小數(shù)的理解。對于兩位小數(shù)的操作，就可放手讓學(xué)生自己去創(chuàng)造：給每位學(xué)生一張正方形的紙，讓學(xué)生按照操作程序創(chuàng)造出自己喜歡的小數(shù)，然后與同桌交流自己的創(chuàng)作方法。這樣，學(xué)生通過具體的元、角、分之間的關(guān)系與直觀圖形的結(jié)合，進(jìn)一步理解了一位小數(shù)與兩位小數(shù)的意義。

　　4·心智模式的層次。大部分學(xué)生雖然在程序操作層次時的表現(xiàn)還算不錯，但還無法達(dá)到最后一個層次，可見應(yīng)該還有一個介于這兩者之間的層次，即心智模式的層次。比如把一個正方形平均分成10份后，學(xué)生能找到0.1、0.8等小數(shù)，能結(jié)合具體的元、角、分情境說出這些小數(shù)的意義，但是這里的理解僅僅是就事論事、就物論物、就圖論圖，脫離了元、角、分以及圖形的分一分，學(xué)生還能理解0.4的意義嗎?例如教師拿出一根4分米的繩子，提問：“如果用米做單位，這是多少米呢?"這個時候，學(xué)生就會有一個心智快速活動的過程，物變了，不再是人民幣了，圖也變了，不再是正方形了，他們通過思考，可能會直接用語言表達(dá)，也有可能會通過畫圖的方式表達(dá)，不管怎樣，這都是一個舉一反三、獨立思考的過程，是一個量變到質(zhì)變的過程。教師也可為學(xué)生提供幾個學(xué)具，例如讓學(xué)生從米尺、數(shù)軸、溫度計、健康秤中任意選出一種學(xué)具表示一個具體的小數(shù)，讓學(xué)生創(chuàng)造小數(shù)，并學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)，清楚一位小數(shù)或兩位小數(shù)的產(chǎn)生過程，理解小數(shù)的意義。

　　5·抽象概括的層次。此時學(xué)生對于小數(shù)的感知已經(jīng)能夠脫離具體的量與圖而存在了，他們對于"0.3表示什么?0.7表示什么?"以及“為什么”都能給出合理的解釋，學(xué)生只有達(dá)到這個層次，才算真正直達(dá)小數(shù)知識的核心-小數(shù)概念的理解。這個時候，教師再組織學(xué)生抽象概括一位小數(shù)、兩位小數(shù)和三位小數(shù)的意義就比較容易了。

　　德恩特蒙特認(rèn)為，在上述層次中，每一種層次都是被外面的層次逐層所包裹的，小數(shù)概念的建立是小數(shù)知識的起點，也是核心，學(xué)生為了要獲得小數(shù)的概念性知識，必須層層剝離，從物到形，從物形結(jié)合又回到數(shù)，從數(shù)再回到生活，這樣的一個過程，才是學(xué)生應(yīng)該經(jīng)歷的一個小數(shù)概念的學(xué)習(xí)過程。

　　總之，在小數(shù)概念課的教學(xué)中，教師要“吃透"核心概念的內(nèi)涵與外延;滲透重要的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和身心發(fā)展規(guī)律，關(guān)注小數(shù)概念課教學(xué)的三個核心，滲透三種思想方法，從而真正提高小數(shù)概念課教學(xué)的有效性。

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