路面材料中分形理論的應用

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近年來，分形幾何理論對于研究者探索自然界中不穩定、不規則的未知現象逐漸成為重要的突破途徑，其應用的范圍也由復雜的理論研究滲透到各個不同學科領域，如物理、化學、生物與醫學、地質與地理學、計算機科學、材料科學甚至經濟學、人文社科學。

　　近年來，分形幾何理論對于研究者探索自然界中不穩定、不規則的未知現象逐漸成為重要的突破途徑，其應用的范圍也由復雜的理論研究滲透到各個不同學科領域，如物理、化學、生物與醫學、地質與地理學、計算機科學、材料科學甚至經濟學、人文社科學。而作為路面材料工程科學研究者們已經開始關注分形幾何理論在揭示材料常見的粗糙、凹凸、破碎等無序系統的本質的優越性。傳統的歐式幾何無法準確的闡述固體材料復雜無序事物的本質，而目前分形幾何理論已經對瀝青混合料中的微觀結構分析、集料顆粒表面均勻性分析、集料級配曲線分析以及體積特性分析等方面發揮了很大作用。

　　1分形理論

　　1.1定義

　　分形作為非線性科學的一個分支，沒有嚴格的定義，但它具有非線性領域的主要特征，即隨機性和復雜性。客觀的某種規律支撐起復雜的現象，分形理論作為一種科學而前沿的技術手段，使我們從另一個角度探究出隱藏在復雜現象背后的某種規律，概念新穎，深入透徹的揭示局部與整體之間內在的關系。

　　1.2分形理論的兩大重要原則

　　（1）自相似原則

　　通常指不同時間或空間中某些結構或者過程都是相似的，也可以表征某些系統或者過程的局部與整體性質的相似，甚至完全相同。[1]自相似分形通常分為有規分形和無規分形，其中有規分形要求局部與整體之間相似性非常嚴格，類似無窮迭代而成的結構形式，是一種標準的自相似；而無規分形是滿足近似相似或統計意義上的自相似，自然界中無規分形是普遍存在的。因此，相對于有規分形，無規分形只是一種近似相似或者在統計范疇內相似。

　　（2）無標度原則

　　無標度原則又稱伸縮對稱性，指對象的形狀不隨著觀察尺度的變化而變化，也就是說無論圖形分形到何種程度，表現出來的都是相同的復雜程度，使得從任何尺度都可以觀察出圖形的細節。同時，無標度區是分形尺度關系成立的范圍，所以超出這個無標度區就不再是分形結構。

　　1.3分形維數

　　整數維是用來描述歐式幾何中的對象，分形維數則是描述分形的重要指標。分形維數與歐使幾何的整數維之間有一定關系，并不是獨立的，對于傳統整數維尺度測量無果的對象，需要采用非整數維的尺度才能準確描述其復雜程度的分形維數。研究表明，分形維數可以用于判斷兩個分形是否一致的標準，對準確描述圖形有重要的價值。根據不同的研究內容，分形維數有多種形式，例如相似維數、容量維數、拓撲位數、計盒維數等。

　　2分形理論的應用

　　2.1混凝土研究中的分形理論

　　唐明，李曉[2]等人通過對混凝土材料韌性、斷裂韌性、強度等宏觀力學行為的研究，從混凝土集料的分形特征、水泥及摻合料的分體特征和混凝土孔隙分形特征這三個角度描述了混凝土微觀世界里的細觀結構，及其與宏觀層面上的力學行為的統一性。在這一領域，分形特征的測試與評價是研究的重要方向，合理的測試評價方法是決定分形理論解決問題的關鍵。許多研究已經可以證明，分形理論在顯微結構分形特征描述和影響宏觀分形特征的效果是明顯的，這些宏觀分形特征包括：混凝土材料的斷裂特征、凍害損傷特征、水泥及摻合物的粉體特征、硬化混凝土孔隙特征、混凝土堿集料反映裂紋以及早期開裂等。雖然在混凝土領域，分形理論應用的較為廣泛，但是依然在混凝土孔結構、混凝土滲透特征方面研究甚少，以及分形特征與混凝土耐久性的聯系較為薄弱，甚至對新拌混凝土分形特征的測試更加缺乏。

　　2.2瀝青混合料中集料的分形理論

　　瀝青混合料中，集料通常選用機制碎石，可以認為碎石的表面特征是一種分形，而且影響集料性質的參數有很多，其中集料的關鍵篩孔通過率、體積參數以及空隙率也都是分形的不同種類，從而表現出來的集料宏觀力學特性的不規則性、不確定性以及模糊性非常明顯。

　　楊群[3]等人通過大量的試驗分析定量的揭示出集料分形維數與集料級配碎石關鍵篩孔通過率的良好相關性，從而可以控制以及評價瀝青混合料中級配的離析情況，因為混合料離析會導致粗、細顆粒的分離，從而影響混合料的抗車轍能力以及抗水損害性能，對施工工藝以及技術評價有很好的指導意義。S.Diamond[4]、徐定華[5]教授分別對斷面集料的分形特征和集料顆粒的分形特征進行了評價。除此之外還有王謙源[65]對砂的粒級以及碎石集料的分形特征研究頗深。

　　研究表明，分維數適用于定量描述瀝青混合料的復雜外觀，因此，本文就集料顆粒分布函數的分形以及集料質量分布函數的分形進行討論。

　　（1）集料顆粒分布函數的分形

　　在提出集料粒徑分布函數前，需要先定義集料顆粒的粒徑為r，粒徑小于等于r的顆粒數量為N（r），N0為集料顆粒總數。

　　F（r）= N（r）/N0

　　根據分形幾何理論中分形對象的特點，其分維計算公式為：

　　N（r） = A0（r / rmax）-D

　　公式中，A0為常數；D為顆粒粒徑分形維數；rmax為最大顆粒粒徑。

　　因此，通過上述兩式，并考慮邊界條件F（rmin）=1和F（rmax）=0，得到集料粒徑分布函數表達式為：

　　F（r）= N（r）/N0=

　　（2）集料質量分布函數的分形

　　定義集料質量分布函數如下公式：

　　P（r）= M（r）/M0

　　式中， M（r）為集料粒徑小于等于r的總質量，M0為集料總質量。

　　根據質量與體積的關系以及體積量綱的要求，可推出以下微分表達式：

　　dN（r） = N0dP（r）=No dr

　　分布函數在P（rmin）=1以及P（rmax）=0的邊界條件下，考慮到rmin可以忽略，因此得到簡化公式:

　　P（r）=

　　以上的集料顆粒分布函數是為了更深入的針對集料進行級配設計，其中分形級配理論與現有主要級配設計方法（泰波級配理論、K法、粒子干涉理論、i法）有很強的相關性，從這一角度可以體現出分形是集料的本質。它其實是從另一種角度反映出集料的外觀特性、級配類型、粒徑分布以及體積參數的分形本質。因此無論是連續級配還是間斷級配都有著特有的分形特征，即有特有的分形維數，從而通過分形級配模型反算各篩孔的通過率，指導瀝青混合料配合比設計具有重要意義。

　　2.3瀝青混合料配合比設計中的分形理論

　　通過選取5種具有代表性的級配曲線以及級配范圍對應的分形維數的計算，如下表1所示，1-5號級配曲線的走勢各不相同，形成不同的結構類型，而且分形維數也有所差異。根據級配曲線以及分形維數的分析，可以指出1號級配易形成骨架-空隙結構；2、3號級配偏向于懸浮-密實結構；4號級配較1號級配形成的混合料更加緊密，但仍屬于骨架-空隙結構；只有5號級配最容易形成嵌擠緊湊的骨架-密實結構。

　　表1 級配曲線

　　編號篩孔尺寸（mm）

　　1613.29.54.752.361.180.60.30.150.075

　　通過百分率（%）

　　1100885421171410888

　　2100907530252220161410

　　310095652520181614128

　　410095792515131212128

　　5100955028252321191410

　　上限1001007532262420161512

　　中值1009562.52620.519161311.510

　　下限1009050201514121088

　　因此，分形維數對于細微差別的級配間比較、描述以及設計都具有重要意義。不僅如此，李波[7]等人針對瀝青混合料配合比設計過程中涉及到的混合料體積參數，利用集料分形特征，建立起了集料粒徑分形維數與混合料體積參數的關系。基于AC-13瀝青混合料的5種級配類型，采用4.0%、4.5%和5.0%三種瀝青用量，呈現出以下圖的規律：

　　圖1 分維數與VV的關系圖2 分維數與VFA的關系

　　圖3 分維數與VMA的關系圖4 分維數與MS的關系

　　從圖中看出，三種瀝青瀝青用量的5種級配瀝青混合料的空隙率、礦料間隙率等指標隨著分維值變化的走向比較接近，同時瀝青飽和度以及穩定度也向著相反的趨勢變化。根據試驗數據的分析，不難發現集料粒徑分維值與空隙率、礦料間隙率、瀝青飽和度以及馬歇爾穩定度的相關性很高，因此也提出了分維值與各體積指標的回歸方程，以空隙率（VV）為例，回歸方程如下表2所示：

　　表2 分維值D與體積指標的關系

　　體積指標Pa=4.0%Pa=4.5%Pa=5.0%

　　回歸方程R2回歸方程R2回歸方程R2

　　VV-25.51D+69.50.987-33.607D+88.1550.993-36.766D+95.1980.995

　　這對于指導瀝青混合料配合比設計具有極其重要的作用，根據目標分維值而可以預測出一定油石比下瀝青混合料的體積參數，如空隙率（VV）、瀝青飽和度（VFA）甚至馬歇爾穩定度（MS），這種基于分形理論的配合比設計思想也較為合理、新穎。

　　不僅如此，許多研究也深入到應用分維理論將其與瀝青混合料路用性能各項指標進行關聯，使得基于分型理論配合比設計方法更為合理。

　　總體而言，研究者對路面材料（尤其是瀝青混合料）的分形特性以及集料分形級配理論做了大量研究，拓展了該領域的應用范圍，很大程度上推進了混合料微觀結構與宏觀特性的深入研究，為分形理論的發展指引了方向。

　　參考文獻

　　[1] 基于分形理論飛SAC-16瀝青混合料級配設計研究吉林大學碩士論文趙士輝

　　[2] 混凝土分形特征研究的現狀與進展《混凝土》2004年第12期總第182期 8-10

　　[3] 級配碎石分形特征分析及其在路面工程中的應用建筑材料學報 2006.8 第9卷第4期 418-420.

　　[4] S.Diamond.Aspects of concrete porosity revisited[J].Cement and Concrete Research .1999 , (1):1181-1188.