時(shí)間：2014年12月07日 分類：推薦論文 次數(shù)：
【摘要】在數(shù)學(xué)思想、內(nèi)容與方法的歷史性變革過程中，數(shù)學(xué)真理的觀代性開始發(fā)生轉(zhuǎn)向，逐步表現(xiàn)出一些后現(xiàn)代特征：數(shù)學(xué)真理從追求形而上學(xué)的目標(biāo)與價(jià)值轉(zhuǎn)向追求相對的、多樣化的理論構(gòu)建;數(shù)學(xué)真理是一個(gè)具有不同層次性和等級結(jié)構(gòu)的開放體系;數(shù)學(xué)真理超越了自然真理的范疇，開始生長出一種新維度——可選擇性;形式化與非形式化都是獲得數(shù)學(xué)真理的有效手段。
【關(guān)鍵詞】發(fā)南核文章,數(shù)學(xué)真理,后現(xiàn)代轉(zhuǎn)向,哥德爾定理,形式化,非形式化
數(shù)學(xué)真理作為數(shù)學(xué)認(rèn)識論的核心問題，既是關(guān)于數(shù)學(xué)知識真實(shí)性、客觀性、可靠性、可信性的一個(gè)重要指標(biāo)，也是衡量人類科學(xué)發(fā)展水平的一個(gè)基本尺度。文藝復(fù)興以來，隨著近代數(shù)學(xué)的誕生，人們對數(shù)學(xué)真理的理解達(dá)到了新的高度，逐步形成了現(xiàn)代性的數(shù)學(xué)認(rèn)識，其主要標(biāo)志就是以形而上學(xué)和柏拉圖主義為基調(diào)的絕對主義和基礎(chǔ)主義的真理觀。隨著后現(xiàn)代思潮的崛起，現(xiàn)代性的科學(xué)觀念受到強(qiáng)烈的沖擊。在后現(xiàn)代哲學(xué)的語境中，人類以往創(chuàng)造的所有知識的合法性都受到了質(zhì)疑。后現(xiàn)代主義者解構(gòu)現(xiàn)代性的氣勢不僅有些咄咄逼人，而且其對現(xiàn)代性的批判的確也不乏深刻性和合理性。當(dāng)后現(xiàn)代主義對普遍真理、宏大敘事、邏各斯中心主義、本體論和本質(zhì)主義提出質(zhì)疑并予以解構(gòu)之后，作為現(xiàn)代性和科學(xué)真理的一個(gè)典范——數(shù)學(xué)，將如何應(yīng)對后現(xiàn)代的挑戰(zhàn)并對其真理性重新定位?這是一個(gè)十分重要的科學(xué)認(rèn)識論問題。置身于后現(xiàn)代的語境之中，透過后現(xiàn)代獨(dú)特的話語視角對數(shù)學(xué)真理的現(xiàn)代性觀念及其內(nèi)在演化機(jī)制進(jìn)行解讀和反思，我們會(huì)看到，從1世紀(jì)到20世紀(jì)，數(shù)學(xué)無論從思想上、內(nèi)容上、方法上和體系上都發(fā)生了很大的變化，其中許多變化是具有革命性意義的。作為科學(xué)知識之主要標(biāo)志的數(shù)學(xué)真理及其觀念也相應(yīng)地展現(xiàn)出許多不同于現(xiàn)代性觀念的后現(xiàn)代特征。這些新特征極大地豐富了數(shù)學(xué)真理的內(nèi)涵，深刻地變革了關(guān)于數(shù)學(xué)真理的現(xiàn)代性觀念，開拓了人類理性認(rèn)識的新維度。可以說，數(shù)學(xué)真理觀正逐步從現(xiàn)代性轉(zhuǎn)向后現(xiàn)代性。盡管如此，數(shù)學(xué)真理的概念對于數(shù)學(xué)而言依然是極為重要的，是不能完全解構(gòu)或取消的。但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)真理性的意義將發(fā)生深刻的演變。數(shù)學(xué)并不具有終極的、絕對的、中心化的、惟一不變的認(rèn)識論基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)的真理性具有鮮明的社會(huì)、歷史和文化特征。
一、數(shù)學(xué)真理從惟一性、終極性向多樣性、譜系性的轉(zhuǎn)向
現(xiàn)代性的數(shù)學(xué)真理觀念源自于古希臘畢達(dá)哥拉斯—柏拉圖主義的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)，到17、18世紀(jì)，其基本思想趨于成熟。從柏拉圖到康德，整個(gè)西方數(shù)學(xué)的文化精神都是以畢達(dá)哥拉斯—柏拉圖主義的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)為基準(zhǔn)的。無論是笛卡兒的萬能代數(shù)方法、萊布尼茲的數(shù)理邏輯思想，還是拉普拉斯的用數(shù)學(xué)方程式精確刻畫宇宙秩序的決定論思想，都是現(xiàn)代性數(shù)學(xué)真理觀念的典型產(chǎn)物，其基本特點(diǎn)是對數(shù)學(xué)真理的惟一性、終極性、絕對性、整體性、永恒性的信仰。康德雖然把純粹直觀作為數(shù)學(xué)知識判斷的一個(gè)要素，但這種直觀卻是先天的。在康德看來，數(shù)學(xué)是先天的綜合判斷，是形而上學(xué)的典范。這種現(xiàn)代性的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀作為西方理性主義的一個(gè)重要源泉，對西方科學(xué)主義思想以及后來的邏輯實(shí)證主義科學(xué)哲學(xué)思潮的形成都具有深刻的影響。
19世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)的知識進(jìn)步發(fā)生了持續(xù)、內(nèi)在的變革。作為這一變革的一個(gè)重要的認(rèn)識論突破，開始出現(xiàn)一系列解構(gòu)現(xiàn)代性數(shù)學(xué)觀念的思想萌芽。首先是非歐幾何的誕生和代數(shù)學(xué)的抽象化。非歐幾何的誕生，是數(shù)學(xué)觀從現(xiàn)代性向后現(xiàn)代性轉(zhuǎn)向的一個(gè)重要標(biāo)志。非歐幾何瓦解了長期以來人們對數(shù)學(xué)公理“不證自明”和免予質(zhì)疑的認(rèn)識定位。數(shù)學(xué)公理的選擇是一種基于認(rèn)識必然性規(guī)律之上的合乎推理程式的理性與歷史的共同抉擇。這種抉擇不再是惟一確定的而是多樣變化的，不再是絕對意義上的而是有了相對的意義。非歐幾何所揭示出的新的數(shù)學(xué)真理品質(zhì)表明，數(shù)學(xué)真理并不是像康德所假設(shè)的那樣，是一種先驗(yàn)的直覺和綜合判斷。
然而，盡管非歐幾何的產(chǎn)生初步改變了人們對數(shù)學(xué)真理具有惟一性的信念，并初步揭示出現(xiàn)代性數(shù)學(xué)真理觀的內(nèi)在認(rèn)識論缺陷，但隨著非歐幾何的相容性問題的解決，在當(dāng)時(shí)的大多數(shù)數(shù)學(xué)家心中，存在著一個(gè)絕對的、終極的和完全確定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)仍是不言而喻的。集合論誕生后，一度被視為建立終極性數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的法寶。但隨著康托悖論、羅素悖論等一系列數(shù)學(xué)與邏輯學(xué)悖論的不期而至，數(shù)學(xué)出現(xiàn)了前所未有的基礎(chǔ)危機(jī)。面對危機(jī)，數(shù)學(xué)界和數(shù)理邏輯界的領(lǐng)袖人物雄心勃勃地提出了各自宏偉的數(shù)學(xué)奠基工程計(jì)劃。無論是以羅素、懷特海為代表的邏輯主義，還是以希爾伯特為開創(chuàng)者的形式主義，都企圖在完全邏輯化、充分形式化和徹底公理化的基礎(chǔ)上重新構(gòu)筑數(shù)學(xué)真理，以扶正并穩(wěn)固已經(jīng)傾斜的整個(gè)經(jīng)典理性主義大廈。邏輯主義和形式主義都相信，數(shù)學(xué)知識是由無可非議、絕對確定、絕對可靠的為數(shù)不多的邏輯的或數(shù)學(xué)的概念、公理經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯或數(shù)學(xué)方法推演出來的。他們確信，所有的數(shù)學(xué)定理都可以從這種完美無缺、固定不變的基礎(chǔ)中得到，因而所有的數(shù)學(xué)真理便可以通過奠定一勞永逸和完全可靠的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)而獲得。邏輯主義的代表人物羅素闡述道：“邏輯原理和數(shù)學(xué)知識的實(shí)體是獨(dú)立于任何精神而存在并且僅為精神所感知的。這種知識是客觀的，永恒的。”[1](p.219)邏輯主義有兩個(gè)基本信條：(1)所有的數(shù)學(xué)概念最終都可以歸結(jié)為邏輯概念;(2)所有的數(shù)學(xué)真理都可以單憑公理和邏輯推演規(guī)則得到證明。而形式主義者提出了著名的希爾伯特綱領(lǐng)(即關(guān)于數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)或元數(shù)學(xué))，其基本思想是：(1)純數(shù)學(xué)可表示為不予解釋的形式系統(tǒng)，在此系統(tǒng)中數(shù)學(xué)真理由形式定理來表現(xiàn);(2)可通過元數(shù)學(xué)方法，借助于擺脫不相容性來證明形式系統(tǒng)的可靠性。
從認(rèn)識論的角度看，邏輯主義者與形式主義者都把數(shù)學(xué)真理建立在絕對、封閉、完備的理念之上，其認(rèn)識論背景，正是利奧塔所稱的“宏大敘事”或“元敘事”、德里達(dá)所稱的“邏各斯中心主義”和本質(zhì)主義;在方法論上則是決定論和還原論。所不同的是，形式主義者更偏重于從數(shù)學(xué)的角度來看待這一問題，而邏輯主義者則期望把邏輯作為認(rèn)識的起點(diǎn)。從更廣闊的知識背景來看，邏輯實(shí)證主義在科學(xué)與知識的真理標(biāo)準(zhǔn)和判斷方面所表現(xiàn)出的強(qiáng)烈的證實(shí)主義、還原論和狹隘科學(xué)主義傾向，也是與上述典型的現(xiàn)代性數(shù)學(xué)理念密切相關(guān)。
與邏輯主義、形式主義和邏輯實(shí)證主義建立普遍的、總體性的數(shù)學(xué)的意愿相反，20世紀(jì)30年代初，奧地利年輕的數(shù)理邏輯專家哥德爾發(fā)表了在數(shù)學(xué)、數(shù)理邏輯乃至整個(gè)科學(xué)界都具有劃時(shí)代意義的不完全性定理(注：哥德爾不完全性定理由以下兩條定理組成：(1)足以包括數(shù)論在內(nèi)的任一形式系統(tǒng)中，存在一個(gè)不可判定的公式——即一個(gè)公式和它的否定都是不可證明的。(2)足以包括數(shù)論在內(nèi)的形式系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性在本系統(tǒng)中不能得到證明。)。哥德爾研究形式公理化體系相容性問題的本意是為了證明希爾伯特綱領(lǐng)，即完成對包括算術(shù)系統(tǒng)在內(nèi)的形式化體系的相容性證明，但最終得到的結(jié)果卻完全出乎人們的意料。哥德爾定理表明，在任一形式體系中都有不可判定命題存在。由于任一形式體系都無法在自身范圍內(nèi)完成自我解釋和說明，所以邏輯主義和形式主義的基于邏輯化、形式化、封閉性和完備性的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)主義計(jì)劃就是無法實(shí)現(xiàn)的。數(shù)學(xué)命題的正確性不僅要受到數(shù)學(xué)概念是如何界定的、數(shù)學(xué)公理是如何選擇的、數(shù)學(xué)的論證方式是如何取舍的等多種因素的影響和制約，而且有時(shí)候在體系內(nèi)還是不可判定的。數(shù)學(xué)的定理不是從毋庸置疑的、絕對無誤的前提下，通過絕對可靠的推理規(guī)則得到的不容懷疑的絕對真理。數(shù)學(xué)命題的正確性不僅依賴于可能變換或更替的前提和假設(shè)，而且依賴于推理規(guī)則的選擇和限定。換句話說，數(shù)學(xué)并沒有形而上學(xué)意義上的嚴(yán)格性。數(shù)學(xué)命題、理論的真理性就取決于數(shù)學(xué)共同體搭建的理論平臺和數(shù)學(xué)語境，因此，數(shù)學(xué)知識就被賦予了強(qiáng)烈的社會(huì)文化性。
從19世紀(jì)中葉非歐幾何的誕生到20世紀(jì)初哥德爾定理的產(chǎn)生這一段歷史時(shí)期，數(shù)學(xué)的知識演變逐步解構(gòu)了以完美性、永恒性和確定性為標(biāo)志的絕對主義數(shù)學(xué)真理觀。從更深刻的歷史背景來看，基礎(chǔ)主義數(shù)學(xué)真理觀的危機(jī)從根本上表明了現(xiàn)代性意義上的西方理性主義和科學(xué)主義已經(jīng)走到了絕境。邏輯主義和形式主義的一個(gè)致命的認(rèn)識論錯(cuò)誤就在于，欲把數(shù)學(xué)置于機(jī)械的、僵化的、教條的、終極的法則和規(guī)則之下，把一切已有的或尚未發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想、理論、方法都?xì)w結(jié)和還原到固定的、惟一的、不變的、靜止的基礎(chǔ)主義數(shù)學(xué)教條上去，其結(jié)果只能是扼殺數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性和生命力。實(shí)際上，數(shù)學(xué)研究應(yīng)該從一舉實(shí)現(xiàn)關(guān)于真理話語的永恒的、終極的、整體的宏大目標(biāo)轉(zhuǎn)向?qū)植康摹⒂邢薜摹⑿纬尚缘暮碗A段性的目標(biāo)追求。數(shù)學(xué)在刻畫世界圖式、探索宇宙奧秘的同時(shí)，更要關(guān)注現(xiàn)實(shí)問題，如當(dāng)代科學(xué)前沿進(jìn)展、人工智能與數(shù)字化、經(jīng)濟(jì)增長與技術(shù)進(jìn)步、由信息、通訊技術(shù)所營造的新的社會(huì)秩序、新的文化范式等。只有充分地關(guān)注并體現(xiàn)時(shí)代命題，數(shù)學(xué)真理才能獲得新的意義。20世紀(jì)以來數(shù)學(xué)發(fā)展過程中許多重大的理論創(chuàng)新和突破都是這一新的認(rèn)識范式的產(chǎn)物。例如隨機(jī)數(shù)學(xué)、模糊數(shù)學(xué)、突變理論、分形與混沌理論等。
19世紀(jì)后半葉以來的這種有限的、局部的、相對的、富有時(shí)代特征的追求真理的態(tài)度，顯示出數(shù)學(xué)真理越來越深刻的人類學(xué)和譜系學(xué)特征。當(dāng)代數(shù)學(xué)研究越來越重視從數(shù)學(xué)的邊緣化的、細(xì)節(jié)的、局部的、奇異的和非常態(tài)的部分開拓新的領(lǐng)域。數(shù)學(xué)家開始越來越多地接受一個(gè)沒有固定基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)體系，承認(rèn)數(shù)學(xué)中存在著不可判定命題，對悖論從絕對排斥到相對容忍。還有許多數(shù)學(xué)難題，如連續(xù)統(tǒng)假設(shè)、公理集合論的相容性證明等，也一直未獲解決。因此，在數(shù)學(xué)認(rèn)識活動(dòng)中，必須放棄那種一蹴而就地達(dá)到絕對真理殿堂的奢望，把追求數(shù)學(xué)真理的過程與目標(biāo)同人的認(rèn)識過程相一致，通過實(shí)現(xiàn)分解了的、局部的、系列的子目標(biāo)而逐步邁向整體目標(biāo)。概括起來看，這一轉(zhuǎn)向的基本特征是，數(shù)學(xué)真理從追求一勞永逸的終極性目標(biāo)和擁有一成不變的、形而上學(xué)的、絕對永恒的知識體系及其價(jià)值，轉(zhuǎn)化為追求分解了的、可實(shí)現(xiàn)的子目標(biāo)和按邏輯程式、知識法則和思維方法所設(shè)置的各種可能的、多樣化、具有譜系學(xué)特征的理論框架。
二、數(shù)學(xué)真理是具有不同層級的、開放的、動(dòng)態(tài)的理論體系
現(xiàn)代性數(shù)學(xué)真理觀的一個(gè)基本特征就是對數(shù)學(xué)理論體系的封閉的、連續(xù)的、線性的、簡單統(tǒng)一性的認(rèn)識定位。然而在19世紀(jì)以來的數(shù)學(xué)演變過程中，數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和理論體系的基礎(chǔ)性、封閉性和簡單統(tǒng)一性被打破，逐步被更為寬泛多樣的、離散的、非線性的、網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的、不斷變革的和開放的新的數(shù)學(xué)知識、理論和方法所取代。數(shù)學(xué)理論的多樣化、開放性和知識建構(gòu)特征不僅使數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出了層次性，而且賦予了數(shù)學(xué)真理以更加豐富的內(nèi)涵。數(shù)學(xué)真理不僅包括那些由基本的、原始的定義和公理所必然蘊(yùn)含的重言式，而且也開始接納和包容那些具有不同程度真理性的命題、判斷、猜想、假設(shè)和方法。從其確切性相對較高的中心內(nèi)核到確切性逐漸減弱的外層，數(shù)學(xué)真理逐漸形成了一個(gè)不斷生長的動(dòng)態(tài)體系。
皮亞杰深刻分析了數(shù)學(xué)中的創(chuàng)新具有無限運(yùn)演的可能性：“數(shù)學(xué)實(shí)體己不是從我們內(nèi)部或外部一勞永逸地給出的理想客體了：數(shù)學(xué)實(shí)體不再具有本體論的意義;當(dāng)數(shù)學(xué)實(shí)體從一個(gè)水平轉(zhuǎn)移到另一個(gè)水平時(shí)，它們的功能會(huì)不斷地改變;對這類‘實(shí)體’進(jìn)行的運(yùn)演，反過來，又成為理論研究的對象，這個(gè)過程在一直重復(fù)下去，直到我們達(dá)到一種結(jié)構(gòu)為止，這種結(jié)構(gòu)或者正在形成‘更強(qiáng)’的結(jié)構(gòu)，或者在由‘更強(qiáng)的’結(jié)構(gòu)來予以結(jié)構(gòu)化。”[2](p.79)實(shí)際上，這種不斷變化演進(jìn)的數(shù)學(xué)等級結(jié)構(gòu)背后對應(yīng)著數(shù)學(xué)真理的等級結(jié)構(gòu)。與之相應(yīng)的就有一個(gè)數(shù)學(xué)真理可信度的標(biāo)準(zhǔn)，這種標(biāo)準(zhǔn)賦予不同等級的數(shù)學(xué)真理以不同程度的可信度，這表明后現(xiàn)代的數(shù)學(xué)真理是一個(gè)具有不同層級的理論體系。徐利治和鄭毓信進(jìn)一步指出：“數(shù)學(xué)真理是具有層次結(jié)構(gòu)的……可以引進(jìn)適當(dāng)?shù)?lsquo;測度’去作為數(shù)學(xué)真理性程度的衡量標(biāo)志或評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。”[3](p.18)
后現(xiàn)代的數(shù)學(xué)真理觀在拒絕絕對主義、封閉性和完全自足的觀念之后，其認(rèn)識論上的轉(zhuǎn)向就是賦予數(shù)學(xué)真理以進(jìn)化、動(dòng)態(tài)和開放的特征。在此，我們必須弄清的一個(gè)重大數(shù)學(xué)哲學(xué)理論問題是：數(shù)學(xué)在多大程度上是靠得住的?那種把數(shù)學(xué)視為絕對真理化身的見解和數(shù)學(xué)具有絕對可靠的、終極不變的基礎(chǔ)的觀點(diǎn)已被證明是錯(cuò)誤的;然而，并不能因?yàn)楦械綌?shù)學(xué)喪失了經(jīng)典意義上的確定性而對數(shù)學(xué)真理性感到絕望和悲觀。從整體上看，相當(dāng)大的一部分?jǐn)?shù)學(xué)知識的真理性是取決于其公理體系的可靠性。然而，公理及其體系的可靠性卻無法完全從數(shù)學(xué)中獲得確認(rèn)，它需要從其他的公理、元數(shù)學(xué)或數(shù)學(xué)的外部去尋找。羅素在分析了數(shù)學(xué)真理所具有的歸納主義傾向之后，提出了不同于其最初的邏輯主義實(shí)在論的主張，認(rèn)為為了證明數(shù)學(xué)是真的，“需要其他的方法和考慮”。[4](p.399)而就數(shù)學(xué)內(nèi)部而言，如果僅僅依賴于歐幾里得計(jì)劃、經(jīng)驗(yàn)主義計(jì)劃或歸納主義計(jì)劃等邏輯還原和化歸方法，數(shù)學(xué)的真理意義就會(huì)陷入所謂“無窮回歸”的永恒危機(jī)之中。擬經(jīng)驗(yàn)主義者的觀點(diǎn)是：“數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)家做的或做過的事情，它具有任何人類活動(dòng)或創(chuàng)造所具有的不完善性。”[5](p.42)這種“理性重建”試圖展現(xiàn)真實(shí)的數(shù)學(xué)情境，其實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)知識的發(fā)生論。與波普爾的證偽主義哲學(xué)相比，拉卡托斯由于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的歷史性和實(shí)踐性，其學(xué)說超越了波普爾而與庫恩的范式革命有共通之處。庫恩主張把科學(xué)置于一個(gè)廣泛的歷史發(fā)展背景中去考察，這對于理解數(shù)學(xué)同樣適用。數(shù)學(xué)是一門不斷生長的知識，具有進(jìn)化和社會(huì)學(xué)的特征。數(shù)學(xué)新知識及其真理性將隨著知識接受檢驗(yàn)程度的提高以及數(shù)學(xué)內(nèi)部體系適應(yīng)性的提高而不斷地進(jìn)行調(diào)節(jié)、修正和改進(jìn)。對于經(jīng)過多項(xiàng)指標(biāo)檢驗(yàn)的數(shù)學(xué)知識，可以賦予其相對穩(wěn)定的價(jià)值。我們之所以相信科學(xué)的計(jì)算和方法，是因?yàn)樗谌粘Ｉ睢⑸虡I(yè)貿(mào)易、工程技術(shù)和科學(xué)研究中提供了準(zhǔn)確無誤的運(yùn)算結(jié)果。正因?yàn)槿绱耍祟惒鸥野演d人航天器送上太空。與現(xiàn)實(shí)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的真理性隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展會(huì)呈現(xiàn)出越來越精確、越來越豐富的特點(diǎn)。
數(shù)學(xué)真理的另一個(gè)內(nèi)在特點(diǎn)是，其真理性依賴于其初始理論的假設(shè)和約定。亨佩爾指出：“數(shù)學(xué)的正確性來自于那些決定數(shù)學(xué)概念涵義的規(guī)定，因而數(shù)學(xué)命題本質(zhì)上是‘定義為真’的。”[5](p.8)如在十進(jìn)制中，1+1=2是真理，而在二進(jìn)制中，1+1=2就成為一個(gè)沒有任何意義的命題。盡管亨佩爾的論點(diǎn)揭示了數(shù)學(xué)真理的一個(gè)本質(zhì)屬性，但卻忽略了數(shù)學(xué)本質(zhì)中的不可或缺的經(jīng)驗(yàn)維度，所以僅僅把數(shù)學(xué)命題的真假性看作是“定義為真”，是無法展示數(shù)學(xué)真理的全部風(fēng)采的。因?yàn)椴⒎侨康臄?shù)學(xué)命題的真?zhèn)涡远寄茉谄涔眢w系中得到確認(rèn)，特別是當(dāng)理論尚不成熟時(shí)，相應(yīng)的真理意義就不可能是明晰的、精確的和完整的。這時(shí)候，許多結(jié)論和推斷具有暫時(shí)的、模糊的、似真的、可錯(cuò)的特點(diǎn)。重要的是，無論在哪種情況下，數(shù)學(xué)真理及其意義都有賴于始終處于動(dòng)態(tài)中的知識創(chuàng)造過程。在此，我們可以體會(huì)到為什么數(shù)學(xué)兼具發(fā)現(xiàn)和發(fā)明兩種品質(zhì)。數(shù)學(xué)真理的這一雙重性特點(diǎn)體現(xiàn)了人性與知性的辯證統(tǒng)一、主觀性與客觀性的辯證統(tǒng)一。
三、數(shù)學(xué)對自然真理性的超越及其解釋學(xué)意義
數(shù)學(xué)真理從現(xiàn)代性向后現(xiàn)代性轉(zhuǎn)向的第三個(gè)基本趨勢是，數(shù)學(xué)真理超越傳統(tǒng)數(shù)學(xué)認(rèn)識論中的真理符合論、單一真理性和數(shù)學(xué)實(shí)在論觀念，開始強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)真理對自然和其他各種現(xiàn)象的多樣化解釋。數(shù)學(xué)真理除了包含已知的應(yīng)用領(lǐng)域的大量現(xiàn)實(shí)性真理和描繪自然現(xiàn)象、刻畫自然規(guī)律的自然真理之外，還包含著許多在未知領(lǐng)域和理想狀態(tài)下所廣泛進(jìn)行的理論建構(gòu)和模式構(gòu)造。當(dāng)非歐幾何的相容性被牢固地建立在歐氏幾何相容性的基礎(chǔ)之上時(shí)，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)真理觀的一個(gè)預(yù)設(shè)——數(shù)學(xué)是對自然真理的精確刻畫、數(shù)學(xué)真理就是自然真理的論點(diǎn)便開始失去了根基。數(shù)學(xué)概念與客觀實(shí)在之間并不是完全對等、同一和符合關(guān)系。惟一性作為真理的一個(gè)普遍特征而數(shù)學(xué)卻不具備。因?yàn)榇嬖趦山M以上具有不同內(nèi)容(甚至截然相反)的公理體系并行不悖這一事實(shí)，這能夠?qū)С鲈跀?shù)學(xué)真理體系中必然具有的多樣性觀念和隨之而來的可選擇性觀念。黎曼幾何的創(chuàng)立者，著名數(shù)學(xué)家黎曼在1854年就設(shè)想，空間的有限區(qū)域的結(jié)構(gòu)性質(zhì)不同于無限區(qū)域(包括無窮大和無窮小)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。這種思想在廣義相對論誕生60多年前便已產(chǎn)生，這充分顯示了數(shù)學(xué)在科學(xué)進(jìn)步中的超前和先導(dǎo)作用。黎曼拋棄了康德“綜合知識的演繹有惟一的確實(shí)結(jié)構(gòu)”的見解，認(rèn)為就組成科學(xué)知識的概念框架而言，數(shù)學(xué)理論對經(jīng)驗(yàn)主義的知識起到了一種相對的或辯證的演繹作用。黎曼還認(rèn)為，非歐幾何的誕生表明數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的分離。如在現(xiàn)代幾何學(xué)中，點(diǎn)、線、面等基本幾何概念已從歐氏幾何中的抽象的實(shí)體意義下擺脫出來，不再被賦予任何實(shí)體意義。這種見解的合理性在于，可以允許數(shù)學(xué)超越以前那種必須有與之對應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)背景或應(yīng)用對象的研究范圍。現(xiàn)在看來，由于數(shù)學(xué)處理著對應(yīng)于十分不同但又有內(nèi)在聯(lián)系和統(tǒng)一性的復(fù)雜客體及其所展示的各種各樣的模式，因此，在一種預(yù)設(shè)的理論整體統(tǒng)一性和和諧性的前提下，所呈現(xiàn)的多樣性和可變性便會(huì)不可避免地進(jìn)入數(shù)學(xué)真理的范疇。后現(xiàn)代時(shí)代的數(shù)學(xué)真理必須保持一個(gè)多重模式并存，同時(shí)在體系上相互聯(lián)系、相互作用、彼此協(xié)調(diào)的框架。
數(shù)學(xué)在19、20世紀(jì)所取得的一個(gè)令人矚目的成就是數(shù)學(xué)理論的多樣性，這種多樣性賦予人們對于數(shù)學(xué)概念、公理、方法以相對的選擇自由。許多數(shù)學(xué)定義、問題、方法和公理已不再具備絕對的、必然的意義。其中比較典型的例子如“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”、“選擇公理”、“非直謂定義”、“超限歸納法”等。著名數(shù)學(xué)家彭加勒在《科學(xué)的假設(shè)》一書中提出以下見解：“數(shù)學(xué)的創(chuàng)造力歸因于對初始假設(shè)及定義的自由選擇，其后，通過對推演出來的結(jié)論和可觀察世界的比較，對這些定義和假設(shè)加以約束。”[6](p.246)這種自由選擇實(shí)際上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)共同體的研究范式、學(xué)術(shù)語境和價(jià)值取向。康托宣稱：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于其自由。”這一思想作為對長期以來占據(jù)數(shù)學(xué)哲學(xué)統(tǒng)治地位的柏拉圖主義和形而上學(xué)的一種否定，其意義是不可低估的。康德說，規(guī)律在哪里，人的自由也在哪里。黑格爾的兩句名言：“人作為人是自由的，精神的自由構(gòu)成了人最特有的本質(zhì)。”[7](p.21)“必然性的真理就是自由。”[8](p.120)數(shù)學(xué)真理發(fā)展的新特點(diǎn)生動(dòng)地說明了這一點(diǎn)，數(shù)學(xué)發(fā)展的這種越來越強(qiáng)烈的自由化趨勢充分表明人對數(shù)學(xué)本質(zhì)及其規(guī)律的把握已經(jīng)達(dá)到一個(gè)新的水平，人類對于數(shù)學(xué)的認(rèn)識正從必然王國邁向自由王國。
這里要澄清的是，數(shù)學(xué)中的自由是一種相對的自由，而不是絕對的自由。著名數(shù)學(xué)家馬寧指出：“數(shù)學(xué)的自由只能在嚴(yán)酷的必然的限度內(nèi)發(fā)展。”[6](p.251)這一觀點(diǎn)深刻地闡明了數(shù)學(xué)中的自由這一概念的本質(zhì)特征。所謂“嚴(yán)酷的必然的限度”無非就是數(shù)學(xué)世界的法則、規(guī)則、自律性和秩序。數(shù)學(xué)家赫斯(Hersh)明確提出，數(shù)學(xué)對象是由人發(fā)明或創(chuàng)造的，但“它們不是隨意創(chuàng)造的，而是從已有的數(shù)學(xué)對象以及科學(xué)和日常生活的需要中得到。數(shù)學(xué)對象一旦被創(chuàng)造出來，就具有了很好決定的，獨(dú)立的品質(zhì)”。[9](p.42)這是一種典型的建構(gòu)實(shí)在論立場。由此可見，數(shù)學(xué)中的自由本質(zhì)上是人的精神自由與數(shù)學(xué)內(nèi)在規(guī)律的高度和諧和統(tǒng)一。
既然宇宙萬物間復(fù)雜多變的關(guān)系呈現(xiàn)出多樣化的統(tǒng)一，那么從理論與現(xiàn)實(shí)的關(guān)系看，在數(shù)學(xué)真理的價(jià)值判斷中，可選擇性就成為數(shù)學(xué)真理判斷的一個(gè)必然選擇。相應(yīng)地，可解釋性也就成為數(shù)學(xué)真理的一個(gè)新維度。羅杰·瓊斯指出，在當(dāng)代物理學(xué)的“任一領(lǐng)域中，基本方程都有可供選擇的數(shù)學(xué)表達(dá)，對任一基本方程的數(shù)學(xué)表達(dá)來說，解釋的多重性都存在，每一種解釋都不可避免地與某種表達(dá)能力相關(guān)”。[9](p.175)一方面，許多數(shù)學(xué)理論作為對自然法則、規(guī)律和圖式的一種刻畫日益顯示出其精確、多樣、廣泛和深刻的特點(diǎn)。例如同一偏微分方程可以同時(shí)表征從經(jīng)驗(yàn)直覺上看是迥然不同的現(xiàn)象，而同一現(xiàn)象亦可以用不同的數(shù)學(xué)模型和理論視角去加以透視。另一方面，由于數(shù)學(xué)理論構(gòu)造的需要，許多數(shù)學(xué)知識(特別是相當(dāng)數(shù)量的純粹數(shù)學(xué)知識)可能暫時(shí)沒有必然對應(yīng)的現(xiàn)實(shí)模型。在這種情況下，對數(shù)學(xué)真理的認(rèn)識定位若僅僅囿于現(xiàn)代性觀念下的符合論、目的論和反映論就遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠了。為了使數(shù)學(xué)盡可能有效地描繪包括自然現(xiàn)象在內(nèi)的各種現(xiàn)象，就必須全方位地在理論上、邏輯上探討各種可能性，并允許給予理論的多樣性留下充分的解釋余地。當(dāng)數(shù)學(xué)語言不再與對象實(shí)體之間具有一一對應(yīng)的關(guān)系，當(dāng)數(shù)學(xué)的理論生成超越了主客體之間的二元對立，當(dāng)數(shù)學(xué)的理論構(gòu)造超越經(jīng)驗(yàn)本位和實(shí)踐本位的真理判斷之后，數(shù)學(xué)真理就逐步淡出物質(zhì)客觀實(shí)體的視域，轉(zhuǎn)向了自身語言的深層結(jié)構(gòu)框架中。數(shù)學(xué)真理把其話語的合理性交付給自己的語言體系，數(shù)學(xué)命題的意義和判斷被融合在其結(jié)構(gòu)中的語言關(guān)系、句法轉(zhuǎn)換和交互性當(dāng)中。值得一提的是，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的三大流派當(dāng)中，以布勞威爾為代表的直覺主義表達(dá)了一種類似于后現(xiàn)代思想的語言觀。布勞威爾在維也納的一次著名演講中表示，即使是純粹數(shù)學(xué)也并沒有必然可靠的語言。這一觀點(diǎn)對維特根斯坦后期的語言學(xué)轉(zhuǎn)向，并進(jìn)而對后現(xiàn)代語言學(xué)都產(chǎn)生過影響。由于數(shù)學(xué)語言把“世界3”的建構(gòu)實(shí)在性作為新的認(rèn)識論定位，因此就有必要發(fā)展出一種關(guān)于數(shù)學(xué)語言與日常語言、數(shù)學(xué)理論與現(xiàn)實(shí)情境之間關(guān)系的解釋學(xué)理論。
四、數(shù)學(xué)形式化的局限性與哥德爾定理的人文意蘊(yùn)
作為西方邏各斯中心主義和理性至上這一歷史文化傳統(tǒng)演變與發(fā)展的一個(gè)必然結(jié)果，形式化的思想與方法在19世紀(jì)末到20世紀(jì)初的數(shù)學(xué)發(fā)展中被推到了極致。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)主義者都篤信，一旦基本概念框架、公理結(jié)構(gòu)和推理法則給定，則所有的數(shù)學(xué)真理均能被演繹出來。前面已經(jīng)論述過，這一具有強(qiáng)烈現(xiàn)代性特征的數(shù)學(xué)宏大敘事已經(jīng)隨著哥德爾在1931年發(fā)表的不完全性定理而變?yōu)榕萦啊８绲聽柖ɡ肀砻鳎欠N把全部數(shù)學(xué)知識與真理鑲嵌在封閉的形式化、公理化演繹系統(tǒng)中的理想是無法實(shí)現(xiàn)的。
哥德爾定理不僅在數(shù)學(xué)界與數(shù)理邏輯學(xué)界影響至為深遠(yuǎn)，而且有著更為深刻的后現(xiàn)代哲學(xué)意義。后現(xiàn)代主義的代表人物利奧塔把哥德爾定理視為知識本質(zhì)發(fā)生變化的一個(gè)真正范例，這是很有見地的。因?yàn)椋?0世紀(jì)以來，語言學(xué)轉(zhuǎn)向的一個(gè)基本傾向就是意欲消解“主體中心主義”。而人工智能的研究則試圖從技術(shù)科學(xué)的維度上實(shí)現(xiàn)人類思維的機(jī)器化。理論計(jì)算機(jī)科學(xué)有下述見解：“在廣泛的意義上講，任何一種形式的信息加工和信息的活動(dòng)(包括大腦的思維活動(dòng)中的信息加工和信息活動(dòng))都可以看作是一個(gè)計(jì)算的過程。”[10](p.440)“強(qiáng)人工智能”的觀點(diǎn)甚至認(rèn)為：“任何計(jì)算儀器，甚至最簡單的機(jī)械，諸如恒溫器的邏輯功能都具有某種精神的品質(zhì)……精神活動(dòng)只不過是進(jìn)行某種定義得很好的、經(jīng)常稱作算法的運(yùn)算。”[11](p.17)這些觀點(diǎn)已經(jīng)構(gòu)成了對人的精神與理性認(rèn)識本質(zhì)的嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。而后現(xiàn)代主義的代表人物福柯則模仿尼采的“上帝死了”聲稱“主體的終結(jié)”。一時(shí)間，人類認(rèn)識的主體性地位面臨著被物化、被異化、甚至有被取消的危險(xiǎn)。那么，究竟應(yīng)該如何看待人的認(rèn)識主體性呢?如何消解“強(qiáng)人工智能”對算法化、形式化的盲目崇拜呢?
毋庸置疑，把人類的認(rèn)識活動(dòng)納入高度的形式化框架是科學(xué)發(fā)展的一個(gè)里程碑。計(jì)算機(jī)技術(shù)日新月異的發(fā)展不僅使得計(jì)算機(jī)在許多方面都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過人腦，而且開辟了理解人類精神現(xiàn)象及其本質(zhì)的新方向。隨著諸如人工智能等高技術(shù)的發(fā)展，人類社會(huì)將產(chǎn)生持續(xù)、巨大的變化。但這是否意味著機(jī)器能完全替代人腦呢?用數(shù)學(xué)語言來表述就是，人的思維和心智活動(dòng)在過程和性質(zhì)上是否可以完全算法化呢?算法化、形式化是否就是智慧的全部呢?哥德爾定理告訴我們，形式化和算法化是無法形成自我封閉的完備體系的。奈格爾和紐曼則進(jìn)一步指出：“哥德爾不完全性定理表明，即使在基本數(shù)論中也有數(shù)不清的命題是不能用這種公理化方法解決的。無論機(jī)器設(shè)計(jì)得多么好，運(yùn)算得多么快，它都不能對這些問題作出回答……哥德爾定理表明，人腦的能力和結(jié)構(gòu)是至今任何非生命的機(jī)器所不能比擬的。”[2](p126)西爾勒中文屋子的理想實(shí)驗(yàn)(注：西爾勒中文屋子的理想實(shí)驗(yàn)是美國哲學(xué)家約翰·西爾勒所設(shè)計(jì)的一種理想試驗(yàn)，其目的是為了反駁電腦具有智慧和精神品質(zhì)，而人的精神活動(dòng)只不過是進(jìn)行某種定義得很好的算法的運(yùn)算的強(qiáng)人工智能觀點(diǎn)。詳見彭羅斯：《皇帝新腦》，湖南科學(xué)技術(shù)出版社1996年版，第17-18頁。)強(qiáng)有力地表明電腦等非生命機(jī)器的“思維”與人類智慧具有本質(zhì)的不同。數(shù)學(xué)家馬葛紐斯(Magnus)這樣論述道：“人類的智慧要優(yōu)于任何可以想象得到的計(jì)算機(jī)……我們的數(shù)學(xué)能力，為我們在自然界中所處的特殊地位提供了也許是最簡單，但也是最強(qiáng)有力的，非形而上學(xué)的證據(jù)。”[13](p.243)數(shù)學(xué)固有的非算法本質(zhì)表明數(shù)學(xué)真理絕不僅限于用形式化方式加以表征。人類的思維和精神是不可能被完全模擬的。哥德爾不完全性定理告訴我們，數(shù)學(xué)認(rèn)識活動(dòng)和數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)決不是形式化、算法化、程序化和機(jī)械化所能完全概括的。
必須看到的是，哥德爾不完全性定理并不意味著人的數(shù)學(xué)認(rèn)識能力的局限性，它只是表明了類似于形式主義、邏輯主義和人工智能所倡導(dǎo)的極具現(xiàn)代性科學(xué)語言學(xué)表征的形式化語言的某種不可避免的、難以克服的局限性。哥德爾本人就清楚地指出，他的不完全性結(jié)果“絲毫沒有給人類理性的力量設(shè)立界限，而只是給數(shù)學(xué)中純形式體系的潛能設(shè)立了界限”。[14](p181)雖然目前形式化的趨勢仍十分強(qiáng)勁，其作用亦不可低估，盡管算法化作為數(shù)學(xué)的一個(gè)基本特點(diǎn)使得諸如機(jī)器證明等新興數(shù)學(xué)范式炙手可熱，數(shù)學(xué)也將繼續(xù)給予人工智能和計(jì)算機(jī)科學(xué)以豐碩的理論與技術(shù)支援，但在構(gòu)造性、算法化與形式化之外仍有著廣袤的數(shù)學(xué)疆域。非形式化作為與形式化互補(bǔ)的認(rèn)識方法，作為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法同樣蘊(yùn)含著豐富的真理素材和揭示新真理的可能性。而形式化語言在認(rèn)識論上的盲點(diǎn)只有依靠非形式化才可消除。由于形式語言的局限性，數(shù)學(xué)真理及其判斷并不完全局限在形式化語言的邏輯框架內(nèi)。哥德爾認(rèn)為形式語言都面臨著以下困難：“一種語言中的某個(gè)句子的真理概念是不能由這一語言確定的。”[15](p.76)波蘭邏輯學(xué)家塔斯基在1933也獨(dú)立地得出這一結(jié)論。立足于后現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言學(xué)的視角下，我們可以清楚地看到西方傳統(tǒng)的邏輯化—理性化精神本質(zhì)的內(nèi)在缺陷。從中更可以看出哥德爾不完全性定理這一20世紀(jì)最重要的數(shù)理邏輯成果的后現(xiàn)代里程碑意義。更進(jìn)一步看，我們認(rèn)為，哥德爾不完全性定理的意義已經(jīng)超出了科學(xué)認(rèn)識論的范疇，而帶有了深刻的人文價(jià)值和濃厚的終極關(guān)懷意味，它顯示了人的主體性認(rèn)識地位的終極性和基始性。
在西方中世紀(jì)基督教文化傳統(tǒng)中，人曾被置于上帝之下、萬物之上的特殊地位。然而，自近代思想啟蒙運(yùn)動(dòng)以來，哥白尼的日心說、達(dá)爾文的進(jìn)化論卻分別摧毀了人類居所宇宙中心論和物種至高無上性的思想。而隨著現(xiàn)代人工智能研究的進(jìn)展，人的精神與思維的主體性地位也開始被動(dòng)搖。實(shí)際上，近代的日心說與進(jìn)化論并沒有對人文精神和人的主體性構(gòu)成實(shí)質(zhì)性的威脅，但當(dāng)人的主體意識、人的精神與思維活動(dòng)可以被模擬、被物化、被復(fù)制，甚至最終被替代時(shí)，這才是一種真正的人文精神和人道主義的危機(jī)。所幸的是，在數(shù)學(xué)真理的后現(xiàn)展中，人終于能夠堅(jiān)守住關(guān)于人的本質(zhì)的最后一道防線：在一切認(rèn)識活動(dòng)中，人的最終主體性地位與終極性價(jià)值是無法取代和不可動(dòng)搖的。這或許是數(shù)學(xué)真理觀的后現(xiàn)代轉(zhuǎn)向?qū)﹃P(guān)于人的主體性及其意義的一個(gè)異質(zhì)于激進(jìn)的后現(xiàn)代解構(gòu)主義立場的基本認(rèn)識論和價(jià)值論定位。
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