近年來(lái)，分形幾何理論對(duì)于研究者探索自然界中不穩(wěn)定、不規(guī)則的未知現(xiàn)象逐漸成為重要的突破途徑，其應(yīng)用的范圍也由復(fù)雜的理論研究滲透到各個(gè)不同學(xué)科領(lǐng)域，如物理、化學(xué)、生物與醫(yī)學(xué)、地質(zhì)與地理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、材料科學(xué)甚至經(jīng)濟(jì)學(xué)、人文社科學(xué)。而作為路面材料工程科學(xué)研究者們已經(jīng)開(kāi)始關(guān)注分形幾何理論在揭示材料常見(jiàn)的粗糙、凹凸、破碎等無(wú)序系統(tǒng)的本質(zhì)的優(yōu)越性。傳統(tǒng)的歐式幾何無(wú)法準(zhǔn)確的闡述固體材料復(fù)雜無(wú)序事物的本質(zhì)，而目前分形幾何理論已經(jīng)對(duì)瀝青混合料中的微觀結(jié)構(gòu)分析、集料顆粒表面均勻性分析、集料級(jí)配曲線分析以及體積特性分析等方面發(fā)揮了很大作用。

　　1分形理論

　　1.1定義

　　分形作為非線性科學(xué)的一個(gè)分支，沒(méi)有嚴(yán)格的定義，但它具有非線性領(lǐng)域的主要特征，即隨機(jī)性和復(fù)雜性。客觀的某種規(guī)律支撐起復(fù)雜的現(xiàn)象，分形理論作為一種科學(xué)而前沿的技術(shù)手段，使我們從另一個(gè)角度探究出隱藏在復(fù)雜現(xiàn)象背后的某種規(guī)律，概念新穎，深入透徹的揭示局部與整體之間內(nèi)在的關(guān)系。

　　1.2分形理論的兩大重要原則

　　（1）自相似原則

　　通常指不同時(shí)間或空間中某些結(jié)構(gòu)或者過(guò)程都是相似的，也可以表征某些系統(tǒng)或者過(guò)程的局部與整體性質(zhì)的相似，甚至完全相同。[1]自相似分形通常分為有規(guī)分形和無(wú)規(guī)分形，其中有規(guī)分形要求局部與整體之間相似性非常嚴(yán)格，類(lèi)似無(wú)窮迭代而成的結(jié)構(gòu)形式，是一種標(biāo)準(zhǔn)的自相似；而無(wú)規(guī)分形是滿足近似相似或統(tǒng)計(jì)意義上的自相似，自然界中無(wú)規(guī)分形是普遍存在的。因此，相對(duì)于有規(guī)分形，無(wú)規(guī)分形只是一種近似相似或者在統(tǒng)計(jì)范疇內(nèi)相似。

　　（2）無(wú)標(biāo)度原則

　　無(wú)標(biāo)度原則又稱(chēng)伸縮對(duì)稱(chēng)性，指對(duì)象的形狀不隨著觀察尺度的變化而變化，也就是說(shuō)無(wú)論圖形分形到何種程度，表現(xiàn)出來(lái)的都是相同的復(fù)雜程度，使得從任何尺度都可以觀察出圖形的細(xì)節(jié)。同時(shí)，無(wú)標(biāo)度區(qū)是分形尺度關(guān)系成立的范圍，所以超出這個(gè)無(wú)標(biāo)度區(qū)就不再是分形結(jié)構(gòu)。

　　1.3分形維數(shù)

　　整數(shù)維是用來(lái)描述歐式幾何中的對(duì)象，分形維數(shù)則是描述分形的重要指標(biāo)。分形維數(shù)與歐使幾何的整數(shù)維之間有一定關(guān)系，并不是獨(dú)立的，對(duì)于傳統(tǒng)整數(shù)維尺度測(cè)量無(wú)果的對(duì)象，需要采用非整數(shù)維的尺度才能準(zhǔn)確描述其復(fù)雜程度的分形維數(shù)。研究表明，分形維數(shù)可以用于判斷兩個(gè)分形是否一致的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)準(zhǔn)確描述圖形有重要的價(jià)值。根據(jù)不同的研究?jī)?nèi)容，分形維數(shù)有多種形式，例如相似維數(shù)、容量維數(shù)、拓?fù)湮粩?shù)、計(jì)盒維數(shù)等。

　　2分形理論的應(yīng)用

　　2.1混凝土研究中的分形理論

　　唐明，李曉[2]等人通過(guò)對(duì)混凝土材料韌性、斷裂韌性、強(qiáng)度等宏觀力學(xué)行為的研究，從混凝土集料的分形特征、水泥及摻合料的分體特征和混凝土孔隙分形特征這三個(gè)角度描述了混凝土微觀世界里的細(xì)觀結(jié)構(gòu)，及其與宏觀層面上的力學(xué)行為的統(tǒng)一性。在這一領(lǐng)域，分形特征的測(cè)試與評(píng)價(jià)是研究的重要方向，合理的測(cè)試評(píng)價(jià)方法是決定分形理論解決問(wèn)題的關(guān)鍵。許多研究已經(jīng)可以證明，分形理論在顯微結(jié)構(gòu)分形特征描述和影響宏觀分形特征的效果是明顯的，這些宏觀分形特征包括：混凝土材料的斷裂特征、凍害損傷特征、水泥及摻合物的粉體特征、硬化混凝土孔隙特征、混凝土堿集料反映裂紋以及早期開(kāi)裂等。雖然在混凝土領(lǐng)域，分形理論應(yīng)用的較為廣泛，但是依然在混凝土孔結(jié)構(gòu)、混凝土滲透特征方面研究甚少，以及分形特征與混凝土耐久性的聯(lián)系較為薄弱，甚至對(duì)新拌混凝土分形特征的測(cè)試更加缺乏。

　　2.2瀝青混合料中集料的分形理論

　　瀝青混合料中，集料通常選用機(jī)制碎石，可以認(rèn)為碎石的表面特征是一種分形，而且影響集料性質(zhì)的參數(shù)有很多，其中集料的關(guān)鍵篩孔通過(guò)率、體積參數(shù)以及空隙率也都是分形的不同種類(lèi)，從而表現(xiàn)出來(lái)的集料宏觀力學(xué)特性的不規(guī)則性、不確定性以及模糊性非常明顯。

　　楊群[3]等人通過(guò)大量的試驗(yàn)分析定量的揭示出集料分形維數(shù)與集料級(jí)配碎石關(guān)鍵篩孔通過(guò)率的良好相關(guān)性，從而可以控制以及評(píng)價(jià)瀝青混合料中級(jí)配的離析情況，因?yàn)榛旌狭想x析會(huì)導(dǎo)致粗、細(xì)顆粒的分離，從而影響混合料的抗車(chē)轍能力以及抗水損害性能，對(duì)施工工藝以及技術(shù)評(píng)價(jià)有很好的指導(dǎo)意義。S.Diamond[4]、徐定華[5]教授分別對(duì)斷面集料的分形特征和集料顆粒的分形特征進(jìn)行了評(píng)價(jià)。除此之外還有王謙源[65]對(duì)砂的粒級(jí)以及碎石集料的分形特征研究頗深。

　　研究表明，分維數(shù)適用于定量描述瀝青混合料的復(fù)雜外觀，因此，本文就集料顆粒分布函數(shù)的分形以及集料質(zhì)量分布函數(shù)的分形進(jìn)行討論。

　　（1）集料顆粒分布函數(shù)的分形

　　在提出集料粒徑分布函數(shù)前，需要先定義集料顆粒的粒徑為r，粒徑小于等于r的顆粒數(shù)量為N（r），N0為集料顆粒總數(shù)。

　　F（r）= N（r）/N0

　　根據(jù)分形幾何理論中分形對(duì)象的特點(diǎn)，其分維計(jì)算公式為：

　　N（r） = A0（r / rmax）-D

　　公式中，A0為常數(shù)；D為顆粒粒徑分形維數(shù)；rmax為最大顆粒粒徑。

　　因此，通過(guò)上述兩式，并考慮邊界條件F（rmin）=1和F（rmax）=0，得到集料粒徑分布函數(shù)表達(dá)式為：

　　F（r）= N（r）/N0=

　　（2）集料質(zhì)量分布函數(shù)的分形

　　定義集料質(zhì)量分布函數(shù)如下公式：

　　P（r）= M（r）/M0

　　式中， M（r）為集料粒徑小于等于r的總質(zhì)量，M0為集料總質(zhì)量。

　　根據(jù)質(zhì)量與體積的關(guān)系以及體積量綱的要求，可推出以下微分表達(dá)式：

　　dN（r） = N0dP（r）=No  dr

　　分布函數(shù)在P（rmin）=1以及P（rmax）=0的邊界條件下，考慮到rmin可以忽略，因此得到簡(jiǎn)化公式:

　　P（r）=

　　以上的集料顆粒分布函數(shù)是為了更深入的針對(duì)集料進(jìn)行級(jí)配設(shè)計(jì)，其中分形級(jí)配理論與現(xiàn)有主要級(jí)配設(shè)計(jì)方法（泰波級(jí)配理論、K法、粒子干涉理論、i法）有很強(qiáng)的相關(guān)性，從這一角度可以體現(xiàn)出分形是集料的本質(zhì)。它其實(shí)是從另一種角度反映出集料的外觀特性、級(jí)配類(lèi)型、粒徑分布以及體積參數(shù)的分形本質(zhì)。因此無(wú)論是連續(xù)級(jí)配還是間斷級(jí)配都有著特有的分形特征，即有特有的分形維數(shù)，從而通過(guò)分形級(jí)配模型反算各篩孔的通過(guò)率，指導(dǎo)瀝青混合料配合比設(shè)計(jì)具有重要意義。

　　2.3瀝青混合料配合比設(shè)計(jì)中的分形理論

　　通過(guò)選取5種具有代表性的級(jí)配曲線以及級(jí)配范圍對(duì)應(yīng)的分形維數(shù)的計(jì)算，如下表1所示，1-5號(hào)級(jí)配曲線的走勢(shì)各不相同，形成不同的結(jié)構(gòu)類(lèi)型，而且分形維數(shù)也有所差異。根據(jù)級(jí)配曲線以及分形維數(shù)的分析，可以指出1號(hào)級(jí)配易形成骨架-空隙結(jié)構(gòu)；2、3號(hào)級(jí)配偏向于懸浮-密實(shí)結(jié)構(gòu)；4號(hào)級(jí)配較1號(hào)級(jí)配形成的混合料更加緊密，但仍屬于骨架-空隙結(jié)構(gòu)；只有5號(hào)級(jí)配最容易形成嵌擠緊湊的骨架-密實(shí)結(jié)構(gòu)。

　　表1 級(jí)配曲線

　　編號(hào)篩孔尺寸（mm）

　　1613.29.54.752.361.180.60.30.150.075

　　通過(guò)百分率（%）

　　1100885421171410888

　　2100907530252220161410

　　310095652520181614128

　　410095792515131212128

　　5100955028252321191410

　　上限1001007532262420161512

　　中值1009562.52620.519161311.510

　　下限1009050201514121088

　　因此，分形維數(shù)對(duì)于細(xì)微差別的級(jí)配間比較、描述以及設(shè)計(jì)都具有重要意義。不僅如此，李波[7]等人針對(duì)瀝青混合料配合比設(shè)計(jì)過(guò)程中涉及到的混合料體積參數(shù)，利用集料分形特征，建立起了集料粒徑分形維數(shù)與混合料體積參數(shù)的關(guān)系。基于AC-13瀝青混合料的5種級(jí)配類(lèi)型，采用4.0%、4.5%和5.0%三種瀝青用量，呈現(xiàn)出以下圖的規(guī)律：

　　圖1 分維數(shù)與VV的關(guān)系                   圖2  分維數(shù)與VFA的關(guān)系

　　圖3  分維數(shù)與VMA的關(guān)系                   圖4  分維數(shù)與MS的關(guān)系

　　從圖中看出，三種瀝青瀝青用量的5種級(jí)配瀝青混合料的空隙率、礦料間隙率等指標(biāo)隨著分維值變化的走向比較接近，同時(shí)瀝青飽和度以及穩(wěn)定度也向著相反的趨勢(shì)變化。根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析，不難發(fā)現(xiàn)集料粒徑分維值與空隙率、礦料間隙率、瀝青飽和度以及馬歇爾穩(wěn)定度的相關(guān)性很高，因此也提出了分維值與各體積指標(biāo)的回歸方程，以空隙率（VV）為例，回歸方程如下表2所示：

　　表2 分維值D與體積指標(biāo)的關(guān)系

　　體積指標(biāo)Pa=4.0%Pa=4.5%Pa=5.0%

　　回歸方程R2回歸方程R2回歸方程R2

　　VV-25.51D+69.50.987-33.607D+88.1550.993-36.766D+95.1980.995

　　這對(duì)于指導(dǎo)瀝青混合料配合比設(shè)計(jì)具有極其重要的作用，根據(jù)目標(biāo)分維值而可以預(yù)測(cè)出一定油石比下瀝青混合料的體積參數(shù)，如空隙率（VV）、瀝青飽和度（VFA）甚至馬歇爾穩(wěn)定度（MS），這種基于分形理論的配合比設(shè)計(jì)思想也較為合理、新穎。

　　不僅如此，許多研究也深入到應(yīng)用分維理論將其與瀝青混合料路用性能各項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，使得基于分型理論配合比設(shè)計(jì)方法更為合理。

　　總體而言，研究者對(duì)路面材料（尤其是瀝青混合料）的分形特性以及集料分形級(jí)配理論做了大量研究，拓展了該領(lǐng)域的應(yīng)用范圍，很大程度上推進(jìn)了混合料微觀結(jié)構(gòu)與宏觀特性的深入研究，為分形理論的發(fā)展指引了方向。

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