下面文章對Welch算法中窗函數的選擇與使用展開詳細論述。對頻譜分辨率、噪聲水平等方面對窗函數特性進行研究，其中矩形窗與凱撒窗頻譜分辨率偏高，但信號頻率附近噪聲水平也偏高。矩形窗與凱撒窗適用于高信號信噪比的高精度頻譜估計。漢寧窗與切比雪夫窗對頻譜泄漏有良好的抑制效果，信號頻率附近噪聲水平并未受影響，但其分辨率相對較低。分析認為漢寧窗與切比雪夫窗適用于信噪比較低的信號頻率的一般估計。

　　關鍵詞： Welch功率譜估計,窗函數, 頻譜分辨率, 頻譜泄漏

　　功率譜估計技術是通過信號的相關性，對接收信號功率隨頻率的變化關系進行估計的一種頻譜估計方法，其基本功能是實現寬帶噪聲中窄帶信號的檢測。功率譜估計可以實現對信號的分析與識別。周期圖法利用相關函數與傅里葉變換的卷積關系求功率譜，由于周期圖法不滿足一致性估計條件，分辨率與方差難以同時取得較高的參數。Welch算法是在周期圖法基礎上進行修正的一種比較簡單，便于計算的方法。通過對數據進行分段和加窗，可以在保證分辨率不受影響的前提下盡量減小譜估計的方差。在算法應用中，窗函數的選擇將直接影響譜估計的結果。

　　1 周期圖及Welch算法

　　1.1 周期圖法

　　周期圖法是將觀測得到的有限個樣本數據x(n)={x(0)，x(1)，…，x(N-1)}視為能量有限信號，利用FFT直接計算出其傅里葉變換，然后取其復制的平方并除以數據長度N，作為功率譜估計：

　　⑴

　　其中X(k)為有限長序列x(n)(n=0，1，……，N-1)的傅里葉變換。

　　通過周期圖法對信號進行功率譜估計的流程如圖1[1]。

　　周期圖法的優點是不需要進行自相關運算，算法較為簡單。但周期圖法最大的缺點就是其估計的方差不會隨著數據長度的增加趨近于零，即當信號長度一定時，無法在保證較高譜分辨率的情況下，盡量減小方差，因此周期圖法不是一致估計[2]。

　　1.2 Welch算法

　　Welch算法是對周期圖法的一種改進，其具體流程為首先對信號進行分段加窗處理，求出各段功率譜后求平均功率譜[3]。

　　由概率統計理論可以證明，將長度為N的數據分成K段，每段長度M=N/K。若各段數據相互獨立，則估計方差為原方差的1/K，可以實現一致性估計。但增加K時必然導致M減小，M減小直接導致頻譜分辨率下降。因此，在實際應用中，需兼顧方差與分辨率選取K和M的值。

　　為了減小由于數據分段引起的分辨率降低的問題，可以在截取數據時允許各段數據有部分重疊。同時，針對不同類型的信號，選取合適的窗函數也將直接影響結果的準確性。因此，對窗函數特性的研究顯得很重要。

　　2 Welch功率譜估計的仿真實現與分析

　　2.1 Welch功率譜估計仿真流程

　　為了實現對Welch功率譜估計法的性能分析，選取Matlab作為仿真工具，編程實現的流程如下[4-5]：

　　⑴ 產生待探測信號x(t)，設定該信號的頻率成分、信噪比;

　　⑵ 按要求對x(t)采樣(需滿足采樣定理)與截取，得到有限長觀測序列x[n];

　　⑶ 設定Welch功率譜估計相關參數，包括FFT點數、數據重疊長度等;

　　⑷ 對各段數據進行加窗處理;

　　⑸ 對各段數據進行功率譜計算，再將各段結果進行平均，得到估計的信號功率譜。

　　2.2 Welch功率譜估計中窗函數的選擇分析

　　本次仿真實驗中，產生信號f(t)=sin(2π×300t)+sin(2π×500t)作為輸入信號。信號中的噪聲為加性高斯白噪聲，信噪比為10dB，采樣頻率為3000Hz。信號采樣點數為3000，數據分段不重疊，FFT點數為512，選取窗函數長度為511的矩形窗(Rectangular)、切比雪夫窗(Chebyshev)、漢寧窗(Hanning)、凱瑟窗(Kaiser)分別對信號進行Welch功率譜估計。

　　在其他條件一致的情況下，Rectangular窗的頻譜分辨率最高，主瓣寬度最窄，頻譜估計誤差最小。但是Rectangular窗對信號的突然截斷會造成信號頻譜泄露，使信號頻率附近噪聲幅值大幅度提高，噪聲整體水平較高。本次實驗中信號頻率附近噪聲功率平均提高6dB。因此，當信號信噪比較低時，Rectangular窗無法有效準確識別出信號頻率。Kaiser窗的頻譜分辨率較高，明顯高于Chebyshev窗與Hanning窗。Kaiser窗在信號頻率附近噪聲水平較高，本次實驗中信號頻率附近噪聲功率平均提高3.6dB。因此Kaiser窗適合對信號分辨率要求較高并且信號信噪比較高的情況。

　　Chebyshev窗與Hanning窗的旁瓣衰減較大，因此噪聲水平較低且平穩，本次實驗中，信號頻率附近的噪聲功率無明顯提高。其中Hanning窗的噪聲水平相比Chebyshev窗要更低些。但是Chebyshev窗與Hanning窗的分辨率相比，Rectangular窗和Kaiser窗有所下降，因此更適用于對信號分辨率要求不高的微弱信號頻譜估計的情況。在選取窗函數對信號頻譜進行估計時，需對信號特性進行充分分析，結合頻譜估計需求，進行窗函數的選取。

　　2.3 短信號的Welch功率譜分析

　　在實際情況中，有些信號僅存在較短時間，有些信號變化速率較快。為了精準測量這些信號，只能截取較短時間的信號進行頻譜分析。在對短信號的頻譜估計中，Welch頻譜估計法具有一定的局限性。依舊選取頻率為300Hz和500Hz的正弦信號f(t)=sin(2π×300t)+sin(2π×500t)作為輸入信號。信號中的噪聲為加性高斯白噪聲，信噪比為10dB，采樣頻率為3000Hz。短信號采樣點數為100，數據分段不重疊，FFT點數為512，選取窗函數長度為511的矩形窗(Rectangular)、切比雪夫窗(Chebyshev)、漢寧窗(Hanning)、凱瑟窗(Kaiser)分別對信號進行Welch功率譜估計，得到的結果如圖4所示。

　　由于短信號頻譜噪聲方差較大，故不針對短信號的頻譜進行定量計算。由圖3與圖4對比可知，對短數據進行頻譜估計得到的信號譜峰寬度增加，頻譜分辨率明顯下降。此時，采用Chebyshev窗和Hanning窗得到頻譜的信號譜峰較寬，無法獲得信號頻率。采用Rectangular窗與Kaiser窗得到的信號譜峰也有明顯加寬，同時噪聲處頻譜震蕩較為劇烈。因此，當信號較微弱時，可能被噪聲淹沒導致探測失敗。

　　3 結束語

　　本文通過Matlab對四種窗函數應用于Welch功率譜估計的結果特性進行研究。結果表明使用矩形窗與凱撒窗得到的信號頻譜具有較高的分辨率，比漢寧窗和切比雪夫窗高出一倍左右。但頻譜泄漏造成的信號頻率附近噪聲水平整體較高，在矩形窗條件下，噪聲功率提高為6dB，凱撒窗條件下為3.6dB。因此，矩形窗與凱撒窗適用于信噪比較高信號的高精度頻譜估計。

　　使用漢寧窗與切比雪夫窗進行Welch頻譜估計，信號頻率附近噪聲水平未受影響，但是得到的信號頻譜分辨率較低，適用于微弱信號頻率的粗略估計。未經處理的短信號直接進行Welch功率譜估計，得到的頻譜分辨率較低，同時信號也容易被噪聲干擾，導致探測失敗。微弱信號的功率譜估計方法仍需進一步展開研究。

　　參考文獻(References)：

　　[1] 范瑜，鄔正義.功率譜估計的Welch方法中的窗函數研究[J].常熟理工學院學報，2000.4：36-39

　　[2] JoyceVandeVegts，Vegts.數字信號處理基礎[M].電子工業出版社，2003.

　　[3] 張峰，石現峰，張學智.Welch功率譜估計算法仿真及分析[J].西安工業大學學報，2009.29(4)：353-356

　　[4] 王福杰，潘宏俠.MATLAB中幾種功率譜估計函數的比較分析與選擇[J].電子產品可靠性與環境試驗，2009.27(6)：28-31

　　[5] 魏鑫，張平.周期圖法功率譜估計中的窗函數分析[J].現代電子技術，2005.28(3)：14-15

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